Macierz trójkątna

Macierz trójkątna – macierz kwadratowa, której wszystkie współczynniki pod główną przekątną lub wszystkie współczynniki nad tą przekątną są równe zero^[1]. W zależności od tego, który z wymienionych warunków jest spełniony, wyróżnia się macierze górnotrójkątne i dolnotrójkątne^[2]. Każda kwadratowa macierz schodkowa jest macierzą trójkątną^[3].

Macierzą górnotrójkątną nazywa się macierz postaci^[2]^[3]:

\mathbf {U} ={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\0&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ddots &u_{n-1,n}\\0&0&0&0&u_{n,n}\end{bmatrix}},

czyli taką, że $u_{ij}=0$ dla wszystkich $i>j.$

Macierzą dolnotrójkątną nazywa się macierz postaci^[2]^[3]:

\mathbf {L} ={\begin{bmatrix}l_{1,1}&0&0&0&0\\l_{2,1}&l_{2,2}&0&0&0\\l_{3,1}&l_{3,2}&\ddots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\l_{n,1}&l_{n,2}&\ldots &l_{n,n-1}&l_{n,n}\end{bmatrix}},

czyli taką, że $l_{ij}=0$ dla wszystkich $i<j.$

Własności edytuj

Wyznacznik oraz permanent macierzy górnotrójkątnej są równe iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej^[4]:

\det {A}=\operatorname {perm} {A}=a_{11}a_{2,2}\cdots a_{n,n}.

Suma oraz iloczyn macierzy górnotrójkątnych także jest macierzą górnotrójkątną^[5]. Co więcej, macierze górnotrójkątne tworzą podpierścień pierścienia macierzy^[6]. Analogiczną własność mają macierze dolnotrójkątne.

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

↑ macierz trójkątna, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2024-04-24] .
↑ ^a ^b ^c I.N.I.N. Bronsztejn I.N.I.N. i inni, Nowoczesne kompendium matematyki, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2022, s. 274, ISBN 978-83-01-14148-6 (pol.).
↑ ^a ^b ^c AleksiejA. Kostrikin AleksiejA., Wstęp do algebry. Podstawy algebry, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012, s. 15, ISBN 978-83-01-14252-0 (pol.).
↑ AleksiejA. Kostrikin AleksiejA., Wstęp do algebry. Podstawy algebry, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012, s. 98, ISBN 978-83-01-14252-0 (pol.).
↑ JerzyJ. Rutkowski JerzyJ., Algebra liniowa w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012, s. 64, ISBN 978-83-01-15591-9 (pol.).
↑ B.B. Hartley B.B., T.O.T.O. Hawkes T.O.T.O., Rings, Modules and Linear Algebra, Chapman and Hall, 1970, s. 16, ISBN 978-0-412-09810-9 (ang.).

[1] macierz trójkątna, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2024-04-24] .

[:0-2] I.N.I.N. Bronsztejn I.N.I.N. i inni, Nowoczesne kompendium matematyki, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2022, s. 274, ISBN 978-83-01-14148-6 (pol.).

[:1-3] AleksiejA. Kostrikin AleksiejA., Wstęp do algebry. Podstawy algebry, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012, s. 15, ISBN 978-83-01-14252-0 (pol.).

[4] AleksiejA. Kostrikin AleksiejA., Wstęp do algebry. Podstawy algebry, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012, s. 98, ISBN 978-83-01-14252-0 (pol.).

[5] JerzyJ. Rutkowski JerzyJ., Algebra liniowa w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012, s. 64, ISBN 978-83-01-15591-9 (pol.).

[6] B.B. Hartley B.B., T.O.T.O. Hawkes T.O.T.O., Rings, Modules and Linear Algebra, Chapman and Hall, 1970, s. 16, ISBN 978-0-412-09810-9 (ang.).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]