Metoda Bogackiego-Shampine’a

Metoda Bogackiego-Shampine’a – metoda numeryczna do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych w postaci $y'=f(t,y)$ zaproponowana przez Przemysława Bogackiego i Lawrence’a Shampine’a w 1989. Metoda Bogackiego-Shampine’a jest metodą Rungego-Kutty trzeciego rzędu z czterema współczynnikami $k$ (patrz dalej) z tzw. własnością pierwszy taki jak ostatni (ang. FSAL, first same as last), dzięki której w każdej iteracji funkcja $f$ wywoływana jest trzykrotnie. Metoda ta ma wbudowaną metodę rzędu drugiego dzięki czemu możliwa jest adaptacyjna zmiana kroku całkowania. Metoda Bogackiego-Shampine’a zaimplementowana jest jako funkcja ode23 w programie MATLAB.

W ogólności metody niższego rzędu są bardziej odpowiednie niż algorytmy wyższego rzędu jak np. Metoda Dormanda-Prince’a (piątego rzędu) do numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych, jeśli nie jest wymagana wysoka dokładność rozwiązania przybliżonego. Bogacki i Shampine twierdzą ponadto, że zaproponowana przez nich metoda przewyższa inne metody trzeciego rzędu z osadzonym metodami rzędu drugiego.

Tabela Butchera dla metody Bogackiego-Shampine’a wygląda następująco:

0
1/2	1/2
3/4	0	3/4
1	2/9	1/3	4/9
	2/9	1/3	4/9	0
	7/24	1/4	1/3	1/8

Rozważmy równanie różniczkowe w postaci $y'=f(t,y).$ Jeśli $y_{n}$ oznacza numeryczne rozwiązanie w chwili $t_{n},$ zaś $h_{n}$ jest krokiem czasowym zdefiniowanym jako $h_{n}=t_{n+1}-t_{n},$ wtedy jeden krok metody Bogackiego-Shampine’a jest dany jako:

${\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},y_{n})\\k_{2}&=f(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h_{n},y_{n}+{\tfrac {1}{2}}hk_{1})\\k_{3}&=f(t_{n}+{\tfrac {3}{4}}h_{n},y_{n}+{\tfrac {3}{4}}hk_{2})\\y_{n+1}&=y_{n}+{\tfrac {2}{9}}hk_{1}+{\tfrac {1}{3}}hk_{2}+{\tfrac {4}{9}}hk_{3}\\k_{4}&=f(t_{n}+h_{n},y_{n+1})\\z_{n+1}&=y_{n}+{\tfrac {7}{24}}hk_{1}+{\tfrac {1}{4}}hk_{2}+{\tfrac {1}{3}}hk_{3}+{\tfrac {1}{8}}hk_{4}.\end{aligned}}$

gdzie $z_{n+1}$ jest przybliżeniem drugiego rzędu rozwiązania dokładnego. Sposób obliczania $y_{n+1}$ został wybrany za Ralstonem. Z drugiej strony $y_{n+1}$ jest przybliżeniem trzeciego rzędu, więc różnica pomiędzy $y_{n+1}$ i $z_{n+1}$ może być użyta do adaptacyjnej zmiany długości kroku całkowania. Właściwość FSAL (pierwszy jak ostatni) oznacza, że $k_{4}$ w danym kroku jest równa $k_{1}$ w kroku następnym, stąd tylko trzy wywołania funkcji $f$ są potrzebne w każdej iteracji.