Metoda trapezów

Metoda trapezów – metoda analizy elektromagnetycznych stanów przejściowych.

Jest to metoda z pamięcią sięgającą jeden krok wstecz. Zatem stan układu w danej chwili jest tu uzależniony od stanu w poprzedniej chwili oraz od aktualnych wymuszeń.

Podstawą metody modeli iterowanych są modele elementów $L$ i $C.$ Równanie definicyjne elementu $C$ ma postać: ${\frac {i}{C}}={\frac {dv}{dt}}.$

W metodzie trapezów równanie różniczkowe jest aproksymowane równaniem różnicowym.

${\frac {v^{(n+1)}-v^{(n)}}{h}}={\frac {i^{(n+1)}+i^{(n)}}{2C}},\qquad {}$ (1)

gdzie:

$h=t_{n+1}-t_{n},$

$v(n)=v(tn),$

$i(n)=i(t\cdot n).$

Pojemność $C$ występująca w powyższych wzorach może być:

• funkcją napięcia: $C(v)$ – element nieliniowy,
• funkcją czasu: $C(t)$ – element parametryczny,
• stałą, niezależną od napięcia i czasu – element liniowy.

Równanie (1) można przekształcić do postaci:

$i^{(n+1)}={\frac {2C}{h}}\cdot v^{(n+1)}-\left({\frac {2C}{h}}\cdot v^{(n)}+i^{(n)}\right).$

Analogicznie można opisać element indukcyjny:

• definicja: ${\frac {di}{dt}}={\frac {v}{L}}$
• opis różnicowy:

${\frac {i^{(n+1)}-i^{(n)}}{h}}={\frac {v^{(n+1)}+v^{(n)}}{2L}}$

$i^{(n+1)}={\frac {h}{2L}}\cdot v^{(n+1)}+\left(i^{(n)}+{\frac {h}{2L}}\cdot v^{(n)}\right).$

Jeżeli zastąpimy wszystkie elementy $L$ i $C$ występujące w układzie ich modelami iterowanymi, wówczas analizowany układ dynamiczny zostanie zamodelowany iterowanym układem statycznym (zbudowanym tylko z elementów rezystywnych i źródeł) o parametrach modyfikowanych w każdym kroku czasowym. Układ taki dla $(n+l)$ kroku będzie opisany następującym układem równań węzłowych (2):

$G\cdot V^{(n+1)}=J^{(n+1)}+i^{(n)},$

gdzie:

• $G$ – jest macierzą konduktancji ujmującą przewodności wszystkich rezystorów układu, przewodności zawarte w modelach $L$ i $C,$ oraz źródła sterowane;
• $V^{(n+1)}$ jest wektorem napięć węzłowych w chwili $t_{n+1};$
• $J^{(n+1)}$ jest wektorem prądów źródłowych w chwili $t_{n+1},$ utworzonym na podstawie istniejących w układzie fizycznych źródeł prądowych, z których każde ma wydajność będącą określoną funkcją czasu;
• $i^{(n)}$ jest wektorem prądów źródeł „iterowanych” (figurujących w modelach elementów $L$ i $C$) w chwili $t_{n}.$

Problem rozwiązania układu liniowych równań różniczkowych sprowadza się do iteracyjnego rozwiązywania odpowiedniego układu algebraicznych równań liniowych. Gdy założy się dodatkowo, że krok $h$ jest stały w całym przedziale czasu analizy, wtedy macierz $G$ również pozostaje stała, i równanie (2) można przedstawić w korzystniejszej numerycznie formie (3):

$V^{(n+1)}=G^{-1}\cdot (J^{(n+1)}+i^{(n)}).$

Zerowe warunki początkowe

Załóżmy zerowe warunki początkowe i stały krok czasowy $h$ oraz że analiza odbywa się w przedziale czasu: $0<t<t_{max}.$ Poszczególne etapy są następujące:

1. $n:=0.$
2. Z zerowych warunków początkowych wynika, że $V^{(0)}=J^{(0)}=i^{(0)}=0$ skąd też wynika, że wszystkie prądy i napięcia elementów $L$ i $C$ są zerowe dla $t=0.$
3. Na podstawie założonego kroku $h$ określić modele iterowane elementów $L$ i $C,$ tzn. stałe wartości występujących tam przewodności, oraz wyrażenia na wydajności źródeł iterowanych.
4. Wygenerować macierz $G$ na podstawie konduktancji rezystorów, konduktancji elementów w modelach iterowanych oraz źródeł sterowanych.
5. Odwrócić macierz $G\to G^{-1}.$
6. Na podstawie fizycznych źródeł prądowych utworzyć wektor $J^{(n+1)}.$
7. Na podstawie wydajności źródeł iterowanych utworzyć wektor prądów iterowanych $i^{(n)}$ (w pierwszym przebiegu pętli obliczeniowej dla $n=0,$ mamy $i^{(0)}=0$).
8. Obliczyć $V^{(n+1)}$ z zależności. (3)
9. Na podstawie $V^{(n+1)}$ oraz znanych z poprzedniego kroku wartości prądów i napięć elementów $L$ i $C$ obliczyć prądy i napięcia elementów $L$ i $C$ dla kroku $(n+1).$
10. $n:=n+1.$
11. Jeżeli $t_{n}>t_{max},$ to koniec obliczeń, w przeciwnym przypadku idź do punktu 6.

Niezerowe warunki początkowe

Fizycznie, stan początkowy w układzie jest określany przez wartości napięć na kondensatorach i prądów przez cewki dla $t=0.$ Natomiast dla umożliwienia startu obliczeń iteracyjnych według przedstawionego algorytmu tenże stan początkowy musi być wyrażony w postaci napięć węzłowych i prądów w elementach $L$ i $C$ dla $t=0.$ Najprostszą numerycznie i najczęściej stosowaną praktycznie metodą uwzględniania niezerowego stanu początkowego w analizie układów metodą modeli iterowanych jest następujące postępowanie:

• przyjmuje się chwilowo krok obliczeń $h_{0}$ o kilka rzędów mniejszy od normalnego kroku $h,$
• oblicza się stan układu dla $t=h_{0},$ stosując odpowiednio uproszczone modele iterowane elementów $L,C,$
• stan obliczony w pkt. b) (tzn. napięcia węzłowe, napięcia i prądy w elementach $L,$ $C$) przyjmuje się jako stan dla $t=0,$
• wracając do kroku normalnego $h,$ prowadzi się iteracyjną analizę dla $t=k\cdot h,$ $k=l,2\dots$

Powyższy tryb postępowania jest stosowany we wszystkich metodach analizy należących do rodziny metod modeli iterowanych.

Start programu analizy metodą trapezów dla niezerowych warunków początkowych:

1. Przyjąć krok $h_{0}\ll h,$ dla tego kroku obliczyć macierz $G_{h0}$ i odwrócić ją.
2. Obliczyć prądy źródeł w uproszczonych modelach. Dla elementów $L$ i $C$ o zerowych warunkach początkowych te prądy będą 0.
3. Na podstawie tych prądów utworzyć wektor $i_{0}.$
4. Obliczyć stan układu dla $t=h_{0}.$
5. Powrócić do normalnego kroku $h$ oraz pełnych modeli iterowanych. Dla tego kroku obliczyć macierz $G$ i odwrócić ją.
6. Przyjąć, że obliczony wektor $V$ reprezentuje napięcia węzłowe.
7. Prąd źródła iterowanego dla $C$ jest odwrotnie proporcjonalny do kroku $h_{0}.$ Zatem wracając do kroku $h,$ należy ten prąd zmniejszyć w stosunku $h\backslash h_{0}.$
8. Dalsze obliczenia w cyklu opisanym poprzednio.

Linki zewnętrzne

• Eugeniusz Rosołowski: Komputerowe metody analizy elektromagnetycznych stanów przejściowych. [dostęp 2012-03-18]. [zarchiwizowane z tego adresu (2014-03-11)].