Miara bezatomowa
Miara bezatomowa – taka miara, że dowolny zbiór miary dodatniej można podzielić na dwa podzbiory miary dodatniej.
Własności edytuj
Dla każdego -mierzalnego zbioru można skonstruować zstępującą rodzinę zbiorów taką, że
jeśli miara nie jest bezatomowa to konstrukcja taka (dla pewnych zbiorów A) nie jest możliwa.
Dla miar bezatomowych prawdziwe jest także twierdzenie:
- Dla dowolnego zbioru mierzalnego takiego, że i dla każdej liczby rzeczywistej istnieje taki podzbiór że
Skąd można wnioskować, że przyjmuje nieprzeliczanie wiele wartości.
Uogólnienie edytuj
Definicję miary bezatomowej można rozszerzyć na σ-addytywne funkcje zbiorów o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych. Będziemy je dalej nazywać miarami rzeczywistymi.
Definicja edytuj
Niech będzie σ-ciałem, miarę rzeczywistą określona na nazywamy bezatomową, jeśli dla każdego zbioru takiego, że istnieje taki, że Przez oznaczamy wahanie całkowite miary rzeczywistej
Zobacz też edytuj
Bibliografia edytuj
- Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.