Monada (teoria kategorii)

Monada (kategorii ${\mathcal {C}}$) – w teorii kategorii, trójka $(T,\eta ,\mu )$ dla której $T\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$ jest pewnym funktorem (kowariantnym), a $\eta \colon 1_{\mathcal {C}}\to T$ ($1_{\mathcal {C}}$ oznacza identyczność) i $\mu \colon T\circ T\to T$ są takimi transformacjami naturalnymi że:

• $\mu \circ \mu T=\mu \circ T\mu$
• $\mu \circ \eta _{T}=1=\mu \circ T\eta .$

Na przykład jeżeli $(P,\leqslant )$ jest porządkiem częściowym, monadą nad $P$ jest monotoniczna funkcja $T\colon P\to P$ taka, że $x\leqslant Tx$ oraz $TTx\leqslant Tx$ dla dowolnego $x\in P.$ (Te dwie nierówności wyrażają typy transformacji $\eta$ i $\mu .$ Dzięki temu, że relacja $\leqslant$ jest przechodnia, diagramy w definicji monady komutują.) Z powyższych zależności dla $T$ wynika, że $Tx\leqslant TTx,$ czyli $TT=T.$ Funkcja $T$ jest więc idempotentna i traktuje się ją zwykle jako operację domknięcia.

Zobacz też

• monada (programowanie)

Bibliografia

• Ajith Abraham, Rafael Falcon, Rafael Bello: Rough Set Theory: A True Landmark in Data Analysis, Studies in Computational Intelligence, Vol. 174/2009, s. 52

Linki zewnętrzne

• Teoria kategorii dla informatyków/Wykład 11: Monady. Ważniak MIMUW. [dostęp 2010-08-09].
• Monad. HaskellWiki. [dostęp 2010-08-12].