Nierówność Bernoulliego

Nierówność Bernoulliego – jedna z najbardziej znanych i podstawowych nierówności w matematyce. Jej nazwa pochodzi od nazwiska Jakoba Bernoulliego, który wykorzystywał tę nierówność w swoich badaniach.

Ilustracja nierówności Bernoulliego z wykresami: $y=(1+x)^{r}$ i $y=1+rx$ pokazanymi odpowiednio na czerwono i niebiesko. W tym przypadku $r=3.$

Sformułowanie

Jeżeli $x\geqslant -1,$ to:

$(1+x)^{\alpha }\leqslant 1+\alpha x\quad {\text{dla}}\quad 0<\alpha \leqslant 1$

oraz:

$(1+x)^{\alpha }\geqslant 1+\alpha x\quad {\text{dla}}\quad \alpha \geqslant 1$

Dla $\alpha =1$ obie strony nierówności są równe, natomiast dla $\alpha \neq 1$ równość w każdej z nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $x=0.$

Szczególny przypadek nierówności Bernoulliego otrzymuje się dla $\alpha$ będącego liczbą naturalną – często mianem nierówności Bernoulliego określa się tę jej szczególną wersję:

$(1+x)^{n}\geqslant 1+nx$

dla $n$ naturalnych.