Nierówność Marcinkiewicza-Zygmunda

Nierówność Marcinkiewicza-Zygmunda – nierówność nosząca nazwiska Józefa Marcinkiewicza i Antoniego Zygmunda opisująca związek między momentami ciągu niezależnych zmiennych losowych. Jest ona uogólnieniem wzoru na sumę wariancji niezależnych zmiennych losowych na momenty dowolnego rzędu, z drugiej strony istnieją generalizacje tej nierówności na ogólniejsze symetryczne statystyki niezależnych, poprawiano również stałe i rozpatrywano zależne zmienne losowe.

Twierdzenie

Jeśli $X_{i}$ $(i=1,\dots ,n)$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o zerowej wartości oczekiwanej, $\mathbb {E} X_{i}=0,$ i skończonych momentach do $p$-tego włącznie, $\mathbb {E} |X_{i}|^{p}<+\infty$ dla $1\leqslant p<+\infty ,$ to

$A_{p}\ \mathbb {E} \left(\sum _{i=1}^{n}|X_{i}|^{2}\right)^{\frac {p}{2}}\leqslant \mathbb {E} \left|\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right|^{p}\leqslant B_{p}\ \mathbb {E} \left(\sum _{i=1}^{n}|X_{i}|^{2}\right)^{\frac {p}{2}},$

gdzie $A_{p}$ oraz $B_{p}$ są dodatnimi stałymi zależącymi wyłącznie od $p$.