Nierówność Shapiro – nierówność zaproponowana przez amerykańskiego matematyka Shapiro w 1954 r.
Niech
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
>
0
,
n
∈
N
{\displaystyle x_{1},\;x_{2},\;\dots ,\;x_{n}>0,\;n\in \mathbb {N} }
n
⩽
12
{\displaystyle n\leqslant 12}
liczbą parzystą albo
n
⩽
23
{\displaystyle n\leqslant 23}
liczbą nieparzystą .Oznaczmy także
x
n
+
1
=
x
1
,
x
n
+
2
=
x
2
.
{\displaystyle x_{n+1}=x_{1},x_{n+2}=x_{2}.}
n
2
⩽
∑
i
=
1
n
x
i
x
i
+
1
+
x
i
+
2
.
{\displaystyle {\frac {n}{2}}\leqslant \sum _{i=1}^{n}~{\frac {x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}}.}
Nierówność ta dla n = 3 nazywana jest nierównością Nesbitta .
Dla większych wartości n nierówność nie zachodzi, a ostrym ograniczeniem dolnym jest
γ
n
,
{\displaystyle \gamma n,}
γ
≈
0,494
{\displaystyle \gamma \approx 0{,}494}
ψ
(
0
)
/
2
,
{\displaystyle \psi (0)/2,}
ψ
{\displaystyle \psi }
funkcją wypukłą , której wykres leży poniżej wykresów
y
=
e
−
x
{\displaystyle y=e^{-x}}
y
=
2
(
e
x
+
e
x
2
)
−
1
.
{\displaystyle y=2\left(e^{x}+e^{\frac {x}{2}}\right)^{-1}.}
1969 Vladimir Drinfeld .
Dowód nierówności dla n = 1 i n = 2
edytuj
Dowód nierówności dla n = 3
edytuj
Skorzystamy z następującego lematu :
∀
x
∈
R
+
x
+
1
x
⩾
2.
{\displaystyle \forall _{x\in \mathbb {R} _{+}}x+{\frac {1}{x}}\geqslant 2.}
Dowód lematu:
Niech
x
{\displaystyle x}
x
+
1
x
⩾
2
⟺
x
2
+
1
⩾
2
x
⟺
x
2
−
2
x
+
1
⩾
0
⟺
(
x
−
1
)
2
⩾
0.
{\displaystyle x+{\frac {1}{x}}\geqslant 2\iff x^{2}+1\geqslant 2x\iff x^{2}-2x+1\geqslant 0\iff (x-1)^{2}\geqslant 0.}
Ostatnia nierówność jest prawdziwa, ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny.
Dowód Nierówności Shapiro, gdy
n
=
3
:
{\displaystyle n=3{:}}
Mamy wykazać, że:
∀
x
1
,
x
2
,
x
3
∈
R
+
x
1
x
2
+
x
3
+
x
2
x
3
+
x
1
+
x
3
x
1
+
x
2
⩾
3
2
(
∗
)
{\displaystyle \forall _{x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb {R} _{+}}{\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{1}}}+{\frac {x_{3}}{x_{1}+x_{2}}}\geqslant {\frac {3}{2}}\qquad \qquad (*)}
Oznaczmy
a
=
x
2
+
x
3
,
{\displaystyle a=x_{2}+x_{3},}
b
=
x
3
+
x
1
,
{\displaystyle b=x_{3}+x_{1},}
c
=
x
1
+
x
2
.
{\displaystyle c=x_{1}+x_{2}.}
x
1
=
1
2
(
b
+
c
−
a
)
,
{\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2}}(b+c-a),}
x
2
=
1
2
(
a
+
c
−
b
)
,
{\displaystyle x_{2}={\frac {1}{2}}(a+c-b),}
x
3
=
1
2
(
a
+
b
−
c
)
.
{\displaystyle x_{3}={\frac {1}{2}}(a+b-c).}
Nierówność
(
∗
)
{\displaystyle (*)}
b
+
c
−
a
2
a
+
a
+
c
−
b
2
b
+
a
+
b
−
c
2
c
⩾
3
2
,
{\displaystyle {\frac {b+c-a}{2a}}+{\frac {a+c-b}{2b}}+{\frac {a+b-c}{2c}}\geqslant {\frac {3}{2}},}
b
+
c
−
a
a
+
a
+
c
−
b
b
+
a
+
b
−
c
c
⩾
3
{\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}+{\frac {a+c-b}{b}}+{\frac {a+b-c}{c}}\geqslant 3}
b
a
+
c
a
−
1
+
a
b
+
c
b
−
1
+
a
c
+
b
c
−
1
⩾
3
{\displaystyle {\frac {b}{a}}+{\frac {c}{a}}-1+{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{b}}-1+{\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}-1\geqslant 3}
b
a
+
c
a
+
a
b
+
c
b
+
a
c
+
b
c
⩾
6
{\displaystyle {\frac {b}{a}}+{\frac {c}{a}}+{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}\geqslant 6}
(
b
a
+
a
b
)
+
(
b
c
+
c
b
)
+
(
a
c
+
c
a
)
⩾
6
(
∗
∗
)
{\displaystyle \left({\frac {b}{a}}+{\frac {a}{b}}\right)+\left({\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\right)+\left({\frac {a}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geqslant 6\qquad \qquad (**)}
Na mocy lematu mamy:
b
a
+
a
b
⩾
2
{\displaystyle {\frac {b}{a}}+{\frac {a}{b}}\geqslant 2}
b
c
+
c
b
⩾
2
{\displaystyle {\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\geqslant 2}
a
c
+
c
a
⩾
2
{\displaystyle {\frac {a}{c}}+{\frac {c}{a}}\geqslant 2}
Dodając te nierówności stronami otrzymujemy nierówność
(
∗
∗
)
,
{\displaystyle (**),}
(
∗
)
{\displaystyle (*)}
Dowód nierówności dla n = 4
edytuj
Udowodnimy najpierw następujący lemat :
∀
x
,
y
∈
R
+
1
x
+
1
y
⩾
4
x
+
y
{\displaystyle \forall _{x,y\in \mathbb {R} +}{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}\geqslant {\frac {4}{x+y}}}
Dowód lematu:
Dla dowolnych dodatnich
x
,
y
{\displaystyle x,y}
(
x
−
y
)
2
⩾
0.
{\displaystyle (x-y)^{2}\geqslant 0.}
(
x
−
y
)
2
⩾
0
⇒
x
2
+
y
2
⩾
2
x
y
⇒
x
2
+
y
2
x
y
⩾
2
⇒
x
y
+
y
x
⩾
2
⇒
2
+
x
y
+
y
x
⩾
4
⇒
x
+
y
x
+
x
+
y
y
⩾
4
⇒
1
x
+
1
y
⩾
4
x
+
y
,
{\displaystyle (x-y)^{2}\geqslant 0\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geqslant 2xy\Rightarrow {\frac {x^{2}+y^{2}}{xy}}\geqslant 2\Rightarrow {\frac {x}{y}}+{\frac {y}{x}}\geqslant 2\Rightarrow 2+{\frac {x}{y}}+{\frac {y}{x}}\geqslant 4\Rightarrow {\frac {x+y}{x}}+{\frac {x+y}{y}}\geqslant 4\Rightarrow {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}\geqslant {\frac {4}{x+y}},}
Dowód Nierówności Shapiro dla n = 4:
Mamy wykazać, że
∀
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
∈
R
+
x
1
x
2
+
x
3
+
x
2
x
3
+
x
4
+
x
3
x
4
+
x
1
+
x
4
x
1
+
x
2
⩾
2
{\displaystyle \forall _{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\in \mathbb {R} _{+}}{\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}\geqslant 2}
Zauważmy, że:
2
(
x
1
x
2
+
x
3
+
x
2
x
3
+
x
4
+
x
3
x
4
+
x
1
+
x
4
x
1
+
x
2
)
=
{\displaystyle 2\left({\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}\right)=}
=
(
x
1
+
x
2
x
2
+
x
3
+
x
2
+
x
3
x
3
+
x
4
+
x
3
+
x
4
x
4
+
x
1
+
x
4
+
x
1
x
1
+
x
2
)
+
(
x
3
x
2
+
x
3
+
x
4
x
3
+
x
4
+
x
1
x
4
+
x
1
+
x
2
x
1
+
x
2
)
−
4
+
(
x
1
x
2
+
x
3
+
x
2
x
3
+
x
4
+
x
3
x
4
+
x
1
+
x
4
x
1
+
x
2
)
{\displaystyle =\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}+x_{4}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}+x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}\right)+\left({\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{4}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{1}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\right)-4+\left({\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}\right)}
Na mocy nierówności Cauchy’ego mamy:
x
1
+
x
2
x
2
+
x
3
+
x
2
+
x
3
x
3
+
x
4
+
x
3
+
x
4
x
4
+
x
1
+
x
4
+
x
1
x
1
+
x
2
4
⩾
x
1
+
x
2
x
2
+
x
3
⋅
x
2
+
x
3
x
3
+
x
4
⋅
x
3
+
x
4
x
4
+
x
1
⋅
x
4
+
x
1
x
1
+
x
2
4
=
1
4
=
1
,
{\displaystyle {\frac {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}+x_{4}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}+x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}}{4}}\geqslant {\sqrt[{4}]{{\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}+x_{3}}}\cdot {\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{3}+x_{4}}}\cdot {\frac {x_{3}+x_{4}}{x_{4}+x_{1}}}\cdot {\frac {x_{4}+x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}}}={\sqrt[{4}]{1}}=1,}
czyli:
x
1
+
x
2
x
2
+
x
3
+
x
2
+
x
3
x
3
+
x
4
+
x
3
+
x
4
x
4
+
x
1
+
x
4
+
x
1
x
1
+
x
2
⩾
4
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}+x_{4}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}+x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}\geqslant 4}
Mamy zatem:
(
x
1
+
x
2
x
2
+
x
3
+
x
2
+
x
3
x
3
+
x
4
+
x
3
+
x
4
x
4
+
x
1
+
x
4
+
x
1
x
1
+
x
2
)
+
(
x
3
x
2
+
x
3
+
x
4
x
3
+
x
4
+
x
1
x
4
+
x
1
+
x
2
x
1
+
x
2
)
−
4
+
(
x
1
x
2
+
x
3
+
x
2
x
3
+
x
4
+
x
3
x
4
+
x
1
+
x
4
x
1
+
x
2
)
⩾
{\displaystyle \left({\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}+x_{4}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}+x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}\right)+\left({\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{4}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{1}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\right)-4+\left({\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}\right)\geqslant }
⩾
4
+
(
x
3
x
2
+
x
3
+
x
4
x
3
+
x
4
+
x
1
x
4
+
x
1
+
x
2
x
1
+
x
2
)
−
4
+
(
x
1
x
2
+
x
3
+
x
2
x
3
+
x
4
+
x
3
x
4
+
x
1
+
x
4
x
1
+
x
2
)
=
{\displaystyle \geqslant 4+\left({\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{4}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{1}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\right)-4+\left({\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}\right)=}
=
x
3
x
2
+
x
3
+
x
4
x
3
+
x
4
+
x
1
x
4
+
x
1
+
x
2
x
1
+
x
2
+
x
1
x
2
+
x
3
+
x
2
x
3
+
x
4
+
x
3
x
4
+
x
1
+
x
4
x
1
+
x
2
=
{\displaystyle ={\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{4}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{1}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}+{\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}=}
=
(
x
1
+
x
3
)
(
1
x
2
+
x
3
+
1
x
4
+
x
1
)
+
(
x
2
+
x
4
)
(
1
x
3
+
x
4
+
1
x
1
+
x
2
)
{\displaystyle =(x_{1}+x_{3})\left({\frac {1}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}+x_{1}}}\right)+(x_{2}+x_{4})\left({\frac {1}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {1}{x_{1}+x_{2}}}\right)}
Na mocy lematu mamy:
(
x
1
+
x
3
)
(
1
x
2
+
x
3
+
1
x
4
+
x
1
)
+
(
x
2
+
x
4
)
(
1
x
3
+
x
4
+
1
x
1
+
x
2
)
⩾
{\displaystyle (x_{1}+x_{3})\left({\frac {1}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}+x_{1}}}\right)+(x_{2}+x_{4})\left({\frac {1}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {1}{x_{1}+x_{2}}}\right)\geqslant }
⩾
(
x
1
+
x
3
)
(
4
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
)
+
(
x
2
+
x
4
)
(
4
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
)
=
(
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
)
(
4
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
)
=
4
{\displaystyle \geqslant (x_{1}+x_{3})\left({\frac {4}{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}}\right)+(x_{2}+x_{4})\left({\frac {4}{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}}\right)=(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\left({\frac {4}{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}}\right)=4}
Zatem udowodniliśmy nierówność:
2
(
x
1
x
2
+
x
3
+
x
2
x
3
+
x
4
+
x
3
x
4
+
x
1
+
x
4
x
1
+
x
2
)
⩾
4
{\displaystyle 2({\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}})\geqslant 4}
która jest równoważna nierówności
x
1
x
2
+
x
3
+
x
2
x
3
+
x
4
+
x
3
x
4
+
x
1
+
x
4
x
1
+
x
2
⩾
2
,
{\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}\geqslant 2,}
Bibliografia
edytuj
Rozdział 10. W: Lev Kourliandtchik: Słynne nierówności . Wydawnictwo Aksjomat, 2002. ISBN 83-87329-29-0 . brak strony w książce Linki zewnętrzne
edytuj
![{\displaystyle {\frac {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}+x_{4}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}+x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}}{4}}\geqslant {\sqrt[{4}]{{\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}+x_{3}}}\cdot {\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{3}+x_{4}}}\cdot {\frac {x_{3}+x_{4}}{x_{4}+x_{1}}}\cdot {\frac {x_{4}+x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}}}={\sqrt[{4}]{1}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c839a6ae12fabf13ea4915ba4829d558e2e7d2e1)
