Nierówność różniczkowa

Nierówność wiążąca argument, nieznaną funkcję i jej pochodną.

Na przykład

$y'>f(x,y(x)),$

gdzie: $x$ jest argumentem, $f$ – daną funkcją dwóch zmiennych, a $y$ niewiadomą funkcją zmiennej $x$.

Podstawowym problemem teorii nierówności różniczkowych jest opisanie zbioru ich rozwiązań w zależności od danych wartości początkowych lub wartości granicznych. Problematyka ta jest związana z teorią równań różniczkowych zwyczajnych, teorią równań różniczkowych cząstkowych, teorią równań całkowych i teorią równań różnicowych. Dużą grupę nierówności różniczkowych stanowią nierówności powstałe przez zamianę w znanych i zbadanych równaniach znaku równości znakiem nierówności, co jest równoważne dodaniu do jednej ze stron funkcji dodatniej, bądź ujemnej.

Ważnym problemem jest porównanie rozwiązań nierówności różniczkowej z rozwiązaniem odpowiedniego równania różniczkowego. Na przykład dla dowolnego rozwiązania $y$ nierówności różniczkowej

$y'>f(x,y(x))$

oraz rozwiązania $z$ równania różniczkowego

$z'=f(x,z(x)),$

o tych samych warunkach początkowych $y(x_{0})=z(x_{0})$ w dowolnym przedziale istnienia obu rozwiązań $[x_{1};x_{2}]$ zachodzą nierówności

$y(x)<z(x)$ dla $x_{1}\leqslant x<x_{0},$

$z(x)<y(x)$ dla $x_{0}<x\leqslant x_{2}$.

Przykłady

• Jeżeli $y=\varphi (x)$ jest całką równania różniczkowego ${\frac {dy}{dx}}=p(x)y$ (gdzie $p(x)$ jest funkcją ciągłą w przedziale $I=(a;b)$) spełniającą warunek początkowy $\varphi (x_{0})=y_{0},x_{0}\in I,$ a funkcja różniczkowalna $y=\upsilon (x)$ spełnia ten sam warunek początkowy i nierówność różniczkową

${\frac {d\upsilon }{dx}}\geqslant p(x)\upsilon$ dla $x\in [x_{0};x_{1}]\subset I,$

to dla każdego $x\in [x_{0};x_{1}]$

$\upsilon (x)\geqslant \varphi (x)$.

• Twierdzenie Czapłygina-Perrona. Niech funkcje $f(x,y)$ i $F(x,y)$ będą ciągłe w prostokącie domkniętym

${\mathcal {D}}=\{(x,y):x_{0}\leqslant x\leqslant x_{0}+a,|y-y_{0}|\leqslant b\},$ gdzie $a>0,b>0$

i spełniają nierówność

$f(x,y)\leqslant F(x,y).$

Jeśli wtedy $y=y(x),y=\upsilon (x)$ są odpowiednio całkami równań różniczkowych

$y=f(x,y),y=F(x,\upsilon )$

przechodzącymi przez punkt $(x_{0},y_{0}),$ określonymi w przedziale $x_{0}\leqslant x\leqslant x_{0}+a$ i leżącymi między $y_{0}-b$ i $y_{0}+b,$ oraz jeśli $f(x,y)$ spełnia w prostokącie ${\mathcal {D}}$ warunek Lipschitza względem y, to

dla każdego $x_{0}\leqslant x\leqslant x_{0}+a$ zachodzi nierówność $y(x)\leqslant \upsilon (x).$

Ponadto jeśli w pewnym punkcie $x_{1}>x_{0}$ jest $y(x_{1})<\upsilon (x_{1}),$ to

dla każdego $x_{1}\leqslant x\leqslant x_{0}+a$ zachodzi $y(x)<\upsilon (x)$.

Bibliografia

• Rościsław Rabczuk: Elementy nierówności różniczkowych. Warszawa: PWN, 1976. (pol.).brak strony w książce
• Jacek Szarski: Differential Inequalities. T. 43. Warszawa: Instytut Matematyczny PAN, 1965, seria: Monografie Matematyczne. (ang.).brak strony w książce