Niezmiennik j

Niezmiennik $j$, inaczej $j$-niezmiennik – pojęcie matematyczne wprowadzone przez Kleina, definiowalne na dwa sposoby:

• czysto algebraiczny, związany z krzywymi eliptycznymi,
• analityczny, jako specyficzna funkcja modularna.

Funkcja na płaszczyźnie zespolonej

Definicja analityczna

Niezmiennik $j,$ zapisywany $j(\tau )$ definiuje się dla wartości zespolonych $\tau$ z górnej półpłaszczyzny zespolonej, tzn. takich, dla których $\Im \tau >0.$ Używając jako punktu wyjścia funkcji theta Jacobiego, $j$ można zdefiniować w następujący sposób:

$j(\tau )=32{\frac {[\vartheta (0;\tau )^{8}+\vartheta _{01}(0;\tau )^{8}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{8}]^{3}}{[\vartheta (0;\tau )\vartheta _{01}(0;\tau )\vartheta _{10}(0;\tau )]^{8}}},$

gdzie $\vartheta ,$ $\vartheta _{01}$ i $\vartheta _{10}$ to, odpowiednio, funkcja theta Jacobiego oraz dwie funkcje pomocnicze theta. Inna możliwa definicja niezmiennika $j$ to:

$j(\tau )={\frac {g_{2}^{3}}{\Delta }},$

gdzie $g_{2}$ to ‘drugi niezmiennik modularny’ zdefiniowany w terminach szeregu Eisensteina (dokładnie, jako $60G_{2},$ gdzie $G_{2}$ to drugi wyraz tego szeregu), zaś $\Delta$ to wyróżnik modularny.

Definicja algebraiczna

Niech

$E:y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}$

będzie krzywą eliptyczną nad dowolnym ciałem. Zdefiniujmy:

${\begin{array}{l}b_{2}=a_{1}^{2}+4a_{2},&b_{4}=a_{1}a_{3}+2a_{4},\\b_{6}=a_{3}^{2}+4a_{6},&b_{8}=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}^{2}+4a_{2}a_{6}-a_{4}^{2},\\c_{4}=b_{2}^{2}-24b_{4},&c_{6}=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6}\end{array}}$

oraz

$\Delta _{E}=-b_{2}^{2}b_{8}+9b_{2}b_{4}b_{6}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}$

(wyróżnik krzywej).

$j$-niezmiennik takiej krzywej definiujemy jako:

$j_{E}={\frac {c_{4}^{3}}{\Delta }}.$

W szczególnym przypadku, gdy charakterystyka ciała bazowego jest różna od 2 i 3, definicję tę możemy uprościć do postaci:

$j_{E}=1728{\frac {c_{4}^{3}}{c_{4}^{3}-c_{6}^{2}}}.$

Własności

$j,$ rozumiany jako funkcja zespolona, jest tzw. absolutnym niezmiennikiem modularnym, co oznacza, że spełnia zależności:

$j(\tau +1)=j(\tau ),$

$j\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)=j(\tau ).$