Okrąg Carlyle’a

Okrąg Carlyle’a – okrąg w kartezjańskim układzie współrzędnych, ilustrujący związek pomiędzy danym równaniem kwadratowym a jego pierwiastkami. Nazwa pochodzi od Thomasa Carlyle’a, szkockiego pisarza i historyka.

Liczby $x_{1}$ i $x_{2}$ są pierwiastkami równania $x^{2}-sx+p=0$

Okręgi Carlyle’a pozwalają konstrukcyjnie znajdować rozwiązania równań kwadratowych, wykorzystywane są m.in. przy konstruowaniu wielokątów foremnych.

Definicja

Dane niech będzie równanie kwadratowe

$x^{2}-sx+p=0,$

w którym $s$ i $p$ są ustalonymi liczbami.

Okręgiem Carlyle’a tego równania nazywamy okrąg, dla którego odcinek o końcach w punktach $A(0,1)$ i $B(s,p)$ jest średnicą.

Własności

Jeśli okrąg przecina oś OX, to współrzędne punktów przecięcia są pierwiastkami rzeczywistymi tego równania. W szczególności dotyczy to przypadku, gdy okrąg jest styczny do osi OX.

Jeśli okrąg jest rozłączny z osią OX, to równane nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Własności te wynikają stąd, że okrąg Carlyle’a ma w układzie kartezjańskim równanie:

$\left(x-{\frac {s}{2}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {p+1}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {s}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p-1}{2}}\right)^{2}.$

Jego punkty przecięcia z osią OX są rozwiązaniami powyższego równania dla $y=0,$ tzn. równania

$\left(x-{\frac {s}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p+1}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {s}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p-1}{2}}\right)^{2}.$

Z kolei to równanie po uporządkowaniu jest równoważne równaniu:

$x^{2}-sx+p=0.$

Zobacz też

• konstrukcja pięciokąta foremnego
• konstrukcja siedemnastokąta foremnego

Bibliografia

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Carlyle Circle, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• DeTemple, D. W. „Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions”

Linki zewnętrzne

• KarolK. Gryszka KarolK., Okręgi Carlyle’a, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, sierpień 2015, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-07-19]  (pol.).