Orbital s

Orbital s – orbital, czyli falowa funkcja własna elektronu w polu oddziaływania jądra lub rdzenia atomowego, który odpowiada pobocznej liczbie kwantowej $l=0.$ Energia elektronu na orbitalu $s$ jest zależna od wartości głównej liczby kwantowej, $n.$ Wartości funkcji falowej w różnych punktach sferycznej chmury elektronowej otaczającej ładunek centralny nie zależą od kierunku promienia sfery. Charakter ich zależności od odległości od centrum jest różny dla różnych liczb kwantowych $n.$ Najbardziej prawdopodobne jest znalezienie elektronu w takiej odległości od jądra, która jest zbliżona do promienia odpowiedniej orbity Bohra.

Chmura elektronowa orbitalu $6s$ ($n=6,$ $l=0$)

Orbital $s$ $(l=0)$ w kartezjańskim układzie współrzędnych

Równanie Schrödingera i orbitale

Równanie Schrödingera wiąże funkcję falową $(\Psi )$ z energią całkowitą $(E).$ Dla tzw. stanów stacjonarnych – takich, w których energia nie zmienia się w czasie – ma ogólną postać:

${\hat {H}}\psi =E\psi ,$

gdzie ${\hat {H}}$ – operator Hamiltona.

Zależność między współrzędnymi kartezjańskimi $(x,y,z)$ i biegunowymi $(r,\Theta ,\varphi )$

Rozwiązania otrzymanego równania mają sens fizyczny dla ściśle określonych wartości energii całkowitej $E_{n}$ („wartości własne” operatora) i odpowiadających im „funkcji własnych” $\Psi (r,\theta ,\varphi )$ – orbitali.

W przypadku atomu wodoru lub „jonów (atomów) wodoropodobnych” całkowita energia układu jest wyrażana jako suma:

• energii pędu elektronu wokół jądra:

$E_{k}=-{\frac {p^{2}}{2m_{e}}},$

gdzie:

$p$ – pęd,

$m_{e}$ – masa elektronu,

• energii potencjalnej kulombowskich oddziaływań dwóch ładunków:

$V=-{\frac {Ze_{0}^{2}}{r}},$

gdzie:

$Ze_{0}$ i $e_{0}$ – ładunki jądra i elektronu,

$r$ – odległość.

W czasie rozwiązywania równania stwierdza się, że ma ono sens tylko dla określonego zbioru liczb naturalnych – liczb kwantowych: głównej $(n),$ pobocznej $(l)$ i magnetycznej $(m).$ Jest to równoznaczne z wykazaniem, że energia elektronu, kwadrat momentu pędu i kota składowa momentu pędu są kwantowane. Każda z tak otrzymanych funkcji własnych $\Psi _{nlm}(r,\Theta ,\varphi )$ jest orbitalem.

Orbitale przedstawia się jako iloczyny prostszych funkcji: $R_{nl},$ $\theta _{lm}$ i $\Psi _{m}{:}$

$\Psi _{nlm}(r\theta \phi )=R_{nl}(r)\cdot \Theta _{ml}(\theta )\cdot \Phi _{m}(\phi ),$

gdzie (dla $Z=1$):

$R_{nl}(r)=-\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {(n-l-1)!}{2n\{(n+l)!\}^{3}}}}\exp \left(-{\frac {r}{na_{0}}}\right)r^{l}L_{n+l}^{2l+1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right),$

$\Theta _{ml}(\theta )=(-1)^{\frac {m+|m|}{2}}{\sqrt {l+{\frac {1}{2}}}}{\sqrt {\frac {(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}}P_{l}^{m}(\cos \theta ),$

$\Phi _{m}(\phi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp(im\phi ).$

Radialna funkcja rozkładu gęstości ładunku

Orbital 1s

Orbital 2s

Orbital 3s

Orbital 4s

Energia elektronu (wartość własna operatora) zależy od wartości $n$ $(E_{n}),$ a wartość funkcji własnej $(\Psi _{nlm})$ – od $n,$ $l$ i $m.$ Kwadrat bezwzględnej wartości modułu tej funkcji określa gęstość prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w danym miejscu otoczenia jądra (zobacz: gęstość elektronowa).

Orbital $s$

Gdy poboczna liczba kwantowa $l=0,$ orbital nosi nazwę „orbitalu $s$”. Symbole $1s,$ $2s,$ $3s,\dots$ oznaczają orbitale $s$ o różnych wartościach głównej liczby kwantowej $n=1,2,3,\dots$

W przypadku orbitalu $s$ wartości funkcji falowej $\Psi _{n00}$ w różnych punktach otoczenia jądra zależą od wartości $r,$ a nie zależą od $\varphi$ i $\theta$ („chmura elektronowa” wewnątrz sfery).

Na wykresach funkcji opisujących zależność $|\Psi _{n00}|^{2}$ od $r$ (radialna funkcja rozkładu gęstości ładunku) występują maksima i minima. Dla różnych wartości głównej liczby kwantowej $(n)$ uzyskuje się funkcje świadczące o największym prawdopodobieństwie występowania elektronu w odległościach zbliżonych do promieni odpowiednich orbit w modelu atomu Bohra.

Przykład orbitalu 3s

Funkcja falowa dla orbitalu 3s ma postać:

$\psi _{3,0,0}(r,\vartheta ,\varphi )={\sqrt {\left({\frac {2}{3\,a_{0}}}\right)^{3}{\frac {1}{18}}}}\cdot e^{\textstyle -r/(3\,a_{0})}\cdot L_{2}^{1}(2\,r/(3\,a_{0}))\cdot {\frac {1}{\sqrt {4\,\pi }}},$

gdzie dolny indeks (3,0,0) zawiera informację o liczbach kwantowych ($\psi _{n,l,m}{:}$ $n=3,$ $l=0,$ $m=0$).

Energia jest równa:

$E=-1\,\mathrm {Ry} /n^{2}=-13{,}6\,\mathrm {eV} /9,$

gdzie:

• $\mathrm {Ry}$ – rydberg, pozaukładowa jednostka energii (energia wiązania elektronu w atomie wodoru),
• $\mathrm {eV}$ – elektronowolt.

Zobacz też

• hybrydyzacja (chemia)
• orbital p
• sprzężone wiązania wielokrotne
• wiązanie pi
• wiązanie sigma
• wiązanie wielokrotne

Bibliografia

• Heinz A. Staab: Wstęp do teoretycznej chemii organicznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe PWN, 1966, s. 7–12.
• Przykłady zastosowań równania Schrödingera; Widma cząsteczkowe; Fotochemia. W: Stanisław Bursa: Chemia fizyczna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe PWN, 1979, s. 46–61. ISBN 83-01-00152-6.
• Antoni Basiński, Adam Bielański, Kazimierz Gumiński i inni: Chemia fizyczna. Wyd. 3. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 86–110.