Oscylator anharmoniczny

Oscylator anharmoniczny – oscylator, którego okres drgań zależy od jego amplitudy (w przeciwieństwie do oscylatora harmonicznego). W oscylatorze anharmonicznym zależność energii potencjalnej od wychylenia z pozycji równowagi jest opisywana funkcją inną niż kwadratowa.

W mechanice klasycznej przykładami oscylatora anharmonicznego są wahadło fizyczne lub matematyczne, wychylone o duże kąty od położeń równowagi; jedynie dla małych wychyleń wahadła te zachowują się jak oscylatory harmoniczne, tj. ich okresy drgań nie zależą od amplitudy drgań.

W przypadku układów kwantowomechanicznych o oscylatorze anharmonicznym mówi się, gdy do opisu stanu związanego układu kwantowego nie wystarcza model oscylatora harmonicznego. Np. kwantowym oscylatorem anharmonicznym jest drgająca cząsteczka, gdy rozważany zakres jej stanów energetycznych drgań jest duży, aż do energii dysocjacji włącznie. Drgająca z dużą amplitudą cząsteczka nie może drgać harmonicznie, gdyż podczas zbliżania się jąder atomów cząsteczki do siebie na bardzo małe odległości siły wzajemnego odpychania się jąder atomowych gwałtownie rosną; także siły te gwałtownie rosną przy dużej odległości atomów od siebie. Jedynie dla drgań atomów w cząsteczce w pobliżu odległości odpowiadającej minimum energii potencjalnej ich wzajemnych oddziaływań mamy do czynienia z drganiami harmonicznymi.

Do dokładnego opisu oddziaływań międzyatomowych używa się m.in. potencjału Morse’a lub potencjału Lennarda-Jonesa.

Potencjał Morse’a

Porównanie potencjału Morse’a (niebieski) i potencjału oscylatora harmonicznego (zielony). Oscylator Morse’a odwzorowuje zmniejszanie się różnic energii między kolejnymi poziomami energii. Energia wiązania $D_{e}$ jest większa niż energia dysocjacji $D_{0}$ ze względu na niezerową energię poziomu zerowego drgań.

Jednym z przybliżeń anharmonicznego zachowania się oscylującego układu jest opisanie go za pomocą potencjału zaproponowanego przez Philipa Morse’a:

$V(r)=D_{e}(1-e^{-\alpha (r-r_{0})})^{2}+V(r_{0}),$

gdzie:

$r_{0}$ – odległość atomów molekuły w stanie równowagi,

$r$ – odległość atomów molekuły po wychyleniu z położenia równowagi,

$D_{e}$ – energia wiązania (głębokość "studni" wykresu V(r)),

$\alpha$ – parametr opisujący szerokość "studni".

Oscylatora Morse’a używa się zazwyczaj do opisu molekuł. Dzięki takiemu podejściu możliwe staje się uwzględnienie procesu dysocjacji wiązania, gdyż wraz ze zwiększaniem się odległości atomów energia oddziaływania zbliża się asymptotycznie do zera. Model ten oddaje także zmniejszanie się różnic między kolejnymi poziomami energetycznymi molekuły w opisie kwantowym:

$E(v)=h\nu _{0}(v+1/2)-x_{e}h\nu _{0}(v+1/2)^{2},$

gdzie:

$v$ – kwantowa liczba oscylacji,

$\nu _{0}$ – częstotliwość oscylatora harmonicznego,

$x_{e}$ – stała anharmoniczności.

Stała anharmoniczności dana jest w przybliżeniu wzorem:

$x_{e}={\frac {\alpha ^{2}h}{2\mu \nu _{0}}}={\frac {h\nu _{0}}{4D_{e}}},$

gdzie:

$\mu$ – masa zredukowana cząsteczki

Potencjał Lennarda-Jonesa

Potencjał Lennarda-Jonesa dla dimeru argonu

Innym prostym modelem wprowadzającym możliwość dysocjacji wiązania jest potencjał wprowadzony przez Johna Lennarda-Jonesa. Dopuszcza on możliwość dysocjacji wiązania, wprowadza też odpychanie na małych odległościach. Składa się on z części repulsywnej $\left({\frac {1}{r}}\right)^{12}$ i atraktywnej $\left({\frac {1}{r}}\right)^{6},$ dając razem:

$V(r)=4\epsilon \left[\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{12}-\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{6}\right],$

gdzie:

$\epsilon ,\sigma$ $\sigma$ – parametry dobierane tak, aby kształt krzywej jak najbardziej odpowiadał modelowanemu układowi.

Zastosowania

Modele oscylatorów anharmonicznych używane są przy analizie widm oscylacyjnych (spektroskopia IR, spektroskopia Ramana), modelowaniu molekularnym, czy też opisie oscylatorów makroskopowych, gdzie stosowanie przybliżenia oscylatora harmonicznego byłoby niedopuszczalne.

Zobacz też

Oscylatory

• oscylator harmoniczny
• oscylator harmoniczny kwantowy

Inne

• drgania
• tłumienie

Bibliografia

• Lucjan Piela: Idee Chemii Kwantowej. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003. ISBN 83-01-14000-3.brak strony w książce

• Joanna Sadlej: Spektroskopia Molekularna. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002. ISBN 83-204-2705-3.brak strony w książce