Otoczka mierzalna – dla danego podzbioru przestrzeni z miarą , zbiór mierzalny , który jest w pewnym sensie od niego niewiele większy . Otoczka mierzalna (o ile istnieje) nie jest wyznaczona jednoznacznie (tzn. jest wyznaczona z dokładnością do zbioru miary zero ). Otoczką mierzalną zbioru mierzalnego jest on sam oraz każdy inny zbiór mierzalny różniący się z nim o zbiór miary zero. Czasami używa się również pojęcia dualnego do pojęci otoczki mierzalnej, tzw. jądra mierzalnego .
Niech
(
Ω
,
A
,
μ
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}
μ
∗
(
A
)
=
inf
{
μ
(
B
)
:
B
∈
A
,
A
⊆
B
}
{\displaystyle \mu ^{*}(A)=\inf\{\mu (B)\colon \,B\in {\mathcal {A}},\,A\subseteq B\}}
A
⊆
Ω
.
{\displaystyle A\subseteq \Omega .}
Zbiór
B
∈
A
{\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}
otoczką mierzalną zbioru
A
⊆
Ω
,
{\displaystyle A\subseteq \Omega ,}
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
C
∈
A
{\displaystyle C\in {\mathcal {A}}}
μ
(
B
∩
C
)
=
μ
∗
(
A
∩
C
)
{\displaystyle \mu (B\cap C)=\mu ^{*}(A\cap C)}
jądrem mierzalnym zbioru
A
⊆
Ω
,
{\displaystyle A\subseteq \Omega ,}
B
⊆
A
{\displaystyle B\subseteq A}
C
∈
A
{\displaystyle C\in {\mathcal {A}}}
μ
(
B
∩
C
)
=
μ
∗
(
A
∩
C
)
{\displaystyle \mu (B\cap C)=\mu ^{*}(A\cap C)}
Zbiór
A
⊆
Ω
{\displaystyle A\subseteq \Omega }
Jeżeli
A
⊆
Ω
{\displaystyle A\subseteq \Omega }
A
⊆
B
,
B
∈
A
,
{\displaystyle A\subseteq B,\,B\in {\mathcal {A}},}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
F
⊆
B
∖
A
,
{\displaystyle F\subseteq B\setminus A,}
F
∈
A
{\displaystyle F\in {\mathcal {A}}}
μ
(
F
)
=
0.
{\displaystyle \mu (F)=0.}
Jeżeli
A
⊆
Ω
{\displaystyle A\subseteq \Omega }
A
⊆
B
,
B
∈
A
{\displaystyle A\subseteq B,\,B\in {\mathcal {A}}}
μ
(
B
)
<
∞
,
{\displaystyle \mu (B)<\infty ,}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
μ
∗
(
A
)
=
μ
(
E
)
.
{\displaystyle \mu ^{*}(A)=\mu (E).}
Jeżeli
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
H
∈
A
,
{\displaystyle H\in {\mathcal {A}},}
B
∩
H
{\displaystyle B\cap H}
A
∩
H
.
{\displaystyle A\cap H.}
Jeżeli dla każdej liczby naturalnej n zbiór
B
n
{\displaystyle B_{n}}
A
n
,
{\displaystyle A_{n},}
⋃
n
<
ω
B
n
{\displaystyle \bigcup _{n<\omega }B_{n}}
⋃
n
<
ω
A
n
.
{\displaystyle \bigcup _{n<\omega }A_{n}.}
Jeżeli
μ
{\displaystyle \mu }
miarą σ-skończoną , to każdy zbiór
A
⊆
Ω
{\displaystyle A\subseteq \Omega }
przestrzenią euklidesową (z miarą Lebesgue’a ) ma otoczkę mierzalną.
Jeżeli
μ
{\displaystyle \mu }
N
{\displaystyle {\mathcal {N}}}
ideałem zbiorów miary zero w
Ω
,
{\displaystyle \Omega ,}
algebra Boole’a
P
(
Ω
)
/
N
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )/{\mathcal {N}}}
monadyczną algebrą Boole’a z operacją
∃
a
=
a
∗
,
{\displaystyle \exists a=a^{*},}
a
∗
{\displaystyle a^{*}}
a
.
{\displaystyle a.}
Bibliografia
edytuj
D.H. Fremlin: Measure Thoery: Volume 1 . Torres Fremlin, Colchester 2000, s. 66. 
