Półnorma (lub seminorma ) – podaddytywny i dodatnio jednorodny funkcjonał określony na przestrzeni liniowej , tj. funkcja
p
:
X
→
[
0
,
∞
)
,
{\displaystyle p\colon X\to [0,\infty ),}
gdzie X jest przestrzenią liniową, spełniająca warunki
p
(
x
+
y
)
⩽
p
(
x
)
+
p
(
y
)
,
{\displaystyle p(x+y)\leqslant p(x)+p(y),}
p
(
α
x
)
=
|
α
|
p
(
x
)
{\displaystyle p(\alpha x)=|\alpha |p(x)}
dla wszystkich elementów
x
,
y
{\displaystyle x,y}
przestrzeni
X
{\displaystyle X}
oraz wszystkich skalarów
α
.
{\displaystyle \alpha .}
Jeżeli
p
{\displaystyle p}
jest półnormą w przestrzeni
X
,
{\displaystyle X,}
to
|
p
(
x
)
−
p
(
y
)
|
⩽
p
(
x
−
y
)
{\displaystyle |p(x)-p(y)|\leqslant p(x-y)}
dla wszystkich
x
,
y
∈
X
,
{\displaystyle x,y\in X,}
p
(
x
)
⩾
0
{\displaystyle p(x)\geqslant 0}
dla wszystkich
x
,
y
∈
X
,
{\displaystyle x,y\in X,}
p
(
0
)
=
0.
{\displaystyle p(0)=0.}
Ponadto zbiór
{
x
∈
X
:
p
(
x
)
=
0
}
{\displaystyle \{x\in X\colon \,p(x)=0\}}
jest podprzestrzenią liniową przestrzeni
X
,
{\displaystyle X,}
a zbiór
{
x
∈
X
:
p
(
x
)
<
1
}
{\displaystyle \{x\in X\colon \,p(x)<1\}}
jest zbalansowanym zbiorem Minkowskiego oraz
p
{\displaystyle p}
jest jego funkcjonałem Minkowskiego.
Wprowadzanie topologii przez rodzinę półnorm
edytuj
Jeśli
X
{\displaystyle X}
jest przestrzenią liniową, to rodzinę
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
półnorm w przestrzeni
X
{\displaystyle X}
nazywamy rozdzielającą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
x
∈
X
∖
{
0
}
{\displaystyle x\in X\setminus \{0\}}
istnieje półnorma
p
∈
P
,
{\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}
że
p
(
x
)
≠
0.
{\displaystyle p(x)\neq 0.}
Przykładem rozdzielającej rodziny półnorm w przestrzeni liniowo-topologicznej lokalnie wypukłej jest rodzina funkcjonałów Minkowskiego
{
μ
A
:
U
∈
B
}
,
{\displaystyle \{\mu _{A}\colon \,U\in {\mathcal {B}}\},}
gdzie
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
jest bazą lokalną przestrzeni
X
,
{\displaystyle X,}
złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.
Twierdzenie o wprowadzaniu topologii
edytuj
Niech
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
będzie rozdzielającą rodziną półnorm w przestrzeni liniowej
X
{\displaystyle X}
oraz
U
(
p
,
n
)
=
{
x
∈
X
:
p
(
x
)
<
1
n
}
{\displaystyle U(p,n)=\{x\in X\colon \,p(x)<{\tfrac {1}{n}}\}}
dla
p
∈
P
{\displaystyle p\in P}
i
n
∈
N
,
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}
B
=
{
⋂
k
=
1
m
U
(
p
k
,
n
k
)
:
p
1
,
…
,
p
m
∈
P
,
n
1
,
…
,
n
m
∈
N
,
m
∈
N
}
,
{\displaystyle {\mathcal {B}}={\big \{}\bigcap _{k=1}^{m}U(p_{k},n_{k})\colon \,p_{1},\dots ,p_{m}\in {\mathcal {P}},\,n_{1},\dots ,n_{m}\in \mathbb {N} ,\,m\in \mathbb {N} {\big \}},}
B
(
x
)
=
{
x
+
U
:
U
∈
B
}
{\displaystyle {\mathcal {B}}(x)=\{x+U\colon \,U\in {\mathcal {B}}\}}
dla
x
∈
X
,
{\displaystyle x\in X,}
T
=
{
⋃
R
:
R
⊆
⋃
x
∈
X
B
(
x
)
}
.
{\displaystyle {\mathcal {T}}={\big \{}\bigcup {\mathcal {R}}\colon \,{\mathcal {R}}\subseteq \bigcup _{x\in X}{\mathcal {B}}(x){\big \}}.}
Wówczas
(
X
,
+
,
⋅
,
T
)
{\displaystyle (X,+,\cdot ,{\mathcal {T}})}
jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą, a
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.
Każda półnorma z rodziny
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
jest funkcją ciągłą.
Zbiór
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej
p
∈
P
{\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}
istnieje
M
∈
(
0
,
∞
)
,
{\displaystyle M\in (0,\infty ),}
że dla każdego
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
p
(
x
)
⩽
M
.
{\displaystyle p(x)\leqslant M.}
Ciąg
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
punktów przestrzeni
X
{\displaystyle X}
jest zbieżny do punktu
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej półnormy
p
∈
P
{\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}
lim
n
→
∞
p
(
x
n
−
x
)
=
0.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }p(x_{n}-x)=0.}
Uwaga o przestrzeniach liniowo-topologicznych lokalnie-wypukłych
edytuj
Jeżeli
X
{\displaystyle X}
jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą, a
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych, to topologia otrzymana z powyższego twierdzenia dla rodziny półnorm
{
μ
A
:
U
∈
B
}
{\displaystyle \{\mu _{A}\colon \,U\in {\mathcal {B}}\}}
pokrywa się z wyjściową topologią przestrzeni
X
.
{\displaystyle X.}
Metryzowalność topologii wprowadzonej przez rodzinę półnorm
edytuj
Jeżeli
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
jest przeliczalną i rozdzielającą rodziną półnorm w przestrzeni
X
,
{\displaystyle X,}
a
(
p
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (p_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
jest ciągiem wszystkich jej wyrazów oraz
(
ε
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (\varepsilon _{n})_{n\in \mathbb {N} }}
jest zbieżnym do zera ciągiem liczb dodatnich, to funkcja
ϱ
:
X
×
X
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle \varrho \colon X\times X\to [0,\infty )}
dana wzorem
ϱ
(
x
,
y
)
=
max
{
ε
n
p
n
(
x
−
y
)
1
+
p
n
(
x
−
y
)
:
n
∈
N
}
{\displaystyle \varrho (x,y)=\max\{\varepsilon _{n}{\frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}\colon \,n\in \mathbb {N} \}}
jest metryką w zbiorze
X
{\displaystyle X}
wyznaczającą topologię otrzymaną z twierdzenia o wprowadzaniu topologii dla rodziny
P
.
{\displaystyle {\mathcal {P}}.}
Ponadto
ϱ
{\displaystyle \varrho }
jest metryką niezmienniczą na przesunięcia , a każda kula o środku w zerze jest zbiorem zbalansowanym i wypukłym.
Bibliografia
edytuj
Walter Rudin : Analiza Funkcjonalna . Warszawa: PWN, 2001.brak strony w książce
Linki zewnętrzne
edytuj
Semi-norm , Encyclopedia of Mathematics [dostęp 2021-03-12].