Płat (matematyka)

Płat – rodzaj skończenie wymiarowej podprzestrzeni euklidesowej.

Definicja formalna

Zbiór $P\subset \mathbb {R} ^{n}$ nazywamy m-wymiarowym płatem, jeżeli istnieje dyfeomorfizm f określony na pewnym zbiorze otwartym $G\subset \mathbb {R} ^{m}$ taki, że f(G)=P. Dyfeomorfizm f nazywamy przedstawieniem parametrycznym płata P. Jednowymiarowe płaty zwyczajowo nazywa się łukiem otwartym.

Własności

Płat jest przede wszystkim pojęciem pomocniczym, wykorzystywanym przy badaniu innych obiektów matematycznych. Np. zachodzi:

• Niech f,g przedstawienia parametryczne płata P określone odpowiednio na zbiorze A i B. Przekształcenie $f^{-1}\circ g$ jest dyfeomorfizmem i przekształca zbiór B na zbiór A.

Przykłady

• Każdy podzbiór otwarty Rⁿ jest płatem.
• Wykres dowolnej funkcji klasy co najmniej C¹(A), dla otwartego zbioru A, czyli zbiór punktów postaci (x,f(x)) (x może być punktem przestrzeni więcej niż jednowymiarowej; x należy do A) jest płatem.

Zobacz też

• rozmaitość
• dyfeomorfizm
• parametryzacja