Płaty Béziera

Płaty Béziera – powierzchnie parametryczne stosowane w modelowaniu geometrycznym, uogólnienie krzywych Béziera.

Prostokątne płaty powierzchni Béziera

Prostokątne płaty powierzchni Béziera (rzadziej płaty tensorowe) są funkcjami dwóch zmiennych $u,v$ odwzorowującymi kwadrat jednostkowy w przestrzeń k-wymiarową (3, 4, rzadziej więcej wymiarów):

$[0,1]\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{k}.$

Płat jest stopnia $n$ względem parametru $u$ i stopnia $m$ względem parametru $v.$

Kształt powierzchni, podobnie jak w przypadku krzywych Béziera, kontroluje się za pomocą punktów kontrolnych; aby opisać płat stopnia $(n,m)$ potrzebne jest $(n+1)\cdot (m+1)$ punktów kontrolnych dla wygody zapisanych w tablicy dwuwymiarowej – $p_{ij}$ to punkt w $i$-tym wierszu i $j$-tej kolumnie tej tablicy.

Analogicznie do łamanej kontrolnej krzywej, dla płatów używa się określenia siatki kontrolnej, którą jest zbiór linii łączących sąsiednie punkty kontrolne (sąsiednie, czyli $p_{ij}$ – $p_{i(j+1)},$ albo $p_{ij}$ – $p_{(i+1)j}$).

Łamana, której wierzchołkami są punkty kontrolne o stałym indeksie $i$ nazywana jest wierszem, o stałym indeksie $j$ – kolumną.

Płat Beziera

Dowolny punkt na powierzchni oblicza się zgodnie ze wzorem:

$p(u,v)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}p_{ij}B_{i}^{n}(u)B_{j}^{m}(v)$ dla $u,v\in [0,1],$

gdzie:

$B_{i}^{n},$ $B_{j}^{m}$ – wielomiany bazowe Bernsteina.

W praktyce obliczenie punktu $p(u,v)$ przeprowadza się zgodnie z jednym ze schematów:

• $p(u,v)=\sum _{i=0}^{n}\left(\sum _{j=0}^{m}p_{ij}B_{j}^{m}(v)\right)B_{i}^{n}(u),$
• $p(u,v)=\sum _{j=0}^{m}\left(\sum _{i=0}^{n}p_{ij}B_{i}^{n}(u)\right)B_{j}^{m}(v).$

Najpierw wyznaczane są punkty leżące na krzywych Béziera określonych na wierszach (kolumnach) siatki dla parametru $u$ $(v).$ Te punkty są z kolei brane jako ciąg punktów kontrolnych krzywej Béziera, na której dla parametru $v$ $(u)$ znajduje się szukany punkt.

Można również użyć wariantu dwu- lub więcej wymiarowego algorytmu de Casteljau.

Trójkątne płaty Béziera

Trójkątne płaty Béziera to funkcje odwzorowujące trójkątny obszar w przestrzeń $\mathbb {R} ^{n}.$ Wykorzystuje się tutaj wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych $B_{ijk}^{n}(r,s,t).$

Zmienne $r,s,t$ przy założeniu, że $r+s+t=1$ $(r,s,t\in [0,1])$ są współrzędnymi barycentrycznymi na płaszczyźnie – te trzy liczby jednoznacznie określają punkt w trójkącie, którego wierzchołkami są punkty $(r=1,s=0,t=0),(r=0,s=1,t=0),(r=0,s=0,t=1).$

Punkt płata trójkątnego stopnia $n$ dany jest wzorem:

$p(r,s,t)=\sum p_{ijk}B_{ijk}^{n}(r,s,t),$

gdzie:

$i,j,k\geqslant 0,$

$i,j,k=0,1,2,\dots ,$

$i+j+k=n.$

Sumowanie przebiega po wszystkich $i,j,k$ spełniających warunek $i+j+k=n.$

Do określenia płata stopnia $n$ potrzebne jest ${\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$ punktów kontrolnych.

Analogicznie jak w przypadku płatów prostokątnych tutaj również mamy do czynienia z siatką kontrolną. Wierszem w siatce nazywamy łamaną, której wierzchołkami są punkty kontrolne o jednym stałym indeksie.

Również dla płatów trójkątnych istnieje wariant algorytmu de Casteljau.

Zobacz też

• krzywa B-sklejana