Pierścień endomorfizmów

Pierścień endomorfizmów – pierścień skojarzony z pewnym rodzajem obiektów, który zawiera pewną informację o jego własnościach wewnętrznych.

Grupy abelowe edytuj

Niech $(A,+)$ będzie grupą abelową. Zgodnie z nazwą, elementami pierścienia endomorfizmów grupy $A$ są endomorfizmy określone na $A,$ tzn. homomorfizmy grupowe $A\to A.$ Każde dwa takie endomorfizmy $f$ oraz $g$ mogą być dodawane (zgodnie z wzorem $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ ), a ich wynik, $f+g,$ również jest endomorfizmem $A.$ Co więcej, $f$ i $g$ mogą być składane, dając tym samym endomorfizm $f\circ g.$ Zbiór wszystkich endomorfizmów $A$ wraz ze wspomnianym dodawaniem i mnożeniem (danym jako składanie) spełnia aksjomaty pierścienia; jego jedynką jest przekształcenie tożsamościowe na $A.$ Pierścienie endomorfizmów zwykle nie są przemienne.

Uwaga: Powyższa konstrukcja nie działa dla grup nieabelowych: suma dwóch homomorfizmów nie musi być wówczas homomorfizmem^[1]

Moduły i przestrzenie liniowe edytuj

Definicja pierścienia endomorfizmów wygląda identycznie dla dowolnego modułu – zamiast homomorfizmów grupowych należy jedynie wykorzystać homomorfizmy modułów. Każdy pierścień jest pierścieniem endomorfizmów pewnego modułu (regularnego^[2], ang. regular). Odwrotnie, $R$ -moduł $M$ jest niczym innym, jak homomorfizmem pierścienia $R$ w pierścień endomorfizmów grupy addytywnej $M.$

Jeżeli $K^{n}$ jest przestrzeń liniową nad ciałem $K,$ to pierścień endomorfizmów $K^{n}$ (składający się ze wszystkich $K$ -przekształceń liniowych $K^{n}\to K^{n}$ ) utożsamia się w naturalny sposób z pierścieniem macierzy typu $n\times n$ o elementach z $K$ ^[3] (zob. macierz).

Teoria kategorii edytuj

W ogólności pierścienie endomorfizmów można definiować dla obiektów dowolnej kategorii preaddytywnej. Warto wspomnieć, że możliwe jest zdefiniowanie w naturalny sposób funktora z kategorii grup abelowych $\mathbf {Ab}$ w kategorię pierścieni $\mathbf {Ring}$ za pomocą pojęcia pierścienia endomorfizmów.

Własności edytuj

Pierścień endomorfizmów grupy abelowej jest trywialny wtedy i tylko wtedy, gdy wspomniana grupa jest trywialna.

Często możliwe jest wyrażenie własności obiektów za pomocą własności jego pierścienia endomorfizmów, np.:

jeżeli moduł jest prosty, to jego pierścień endomorfizmów jest pierścieniem z dzieleniem (wynik znany jako lemat Schura)^[4];
moduł jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień endomorfizmów nie zawiera żadnych nietrywialnych idempotentów^[5]. Nierozkładalność i silna nierozkładalność są częstokroć definiowane za pomocą odpowiednich własności skojarzonego z nimi pierścienia endomorfizmów.

Przypisy edytuj

↑ David Dummitt i Richard Foote, Algebra, s. 347.
↑ Moduł jest regularny, jeżeli dla skończenie generowanego podmodułu $N$ istnieje homomorfizm $\alpha \colon M\to N$ taki, że $\alpha ^{2}=\alpha ,$ $\operatorname {im} \;\alpha$ jest projektywny i $(1-\alpha )N=0.$
↑ Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994. s. 23–24.
↑ Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994, s. 31.
↑ Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994, s. 25.

[1] David Dummitt i Richard Foote, Algebra, s. 347.

[2] Moduł jest regularny, jeżeli dla skończenie generowanego podmodułu $N$ istnieje homomorfizm $\alpha \colon M\to N$ taki, że $\alpha ^{2}=\alpha ,$ $\operatorname {im} \;\alpha$ jest projektywny i $(1-\alpha )N=0.$

[3] Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994. s. 23–24.

[4] Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994, s. 31.

[5] Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994, s. 25.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]