Pierścień z jedynką

Pierścień z jedynką – pierścień, w którym istnieje element neutralny mnożenia, nazwany jedynką.

Jedynka pierścienia $R$ oznaczana jako $1$ spełnia więc warunek, który formalnie można zapisać

$a\cdot 1=1\cdot a=a$ dla każdego elementu $a$ pierścienia $R.$

Innymi słowy, pierścień z jedynką jest monoidem ze względu na mnożenie. Jeśli pierścień nie jest pierścieniem trywialnym (tzn. ma co najmniej 2 elementy), to $1\neq 0.$ Jeśli $f\colon R\to S$ jest homomorfizmem pierścieni z jedynką i $1$ jest jedynką pierścienia $R,$ to $f(1)$ jest jedynką pierścienia $S.$ W pierścieniach z jedynką istnieje przynajmniej jeden ideał maksymalny (twierdzenie Krulla).

Dołączanie jedynki do pierścienia

Dowolny pierścień $R$ można zanurzyć w pewnym pierścieniu z jedynką. W tym celu wystarczy w iloczynie kartezjańskim $\mathbb {Z} \times R$ zdefiniować dwa działania:

$(n_{1},r_{1})+(n_{2},r_{2})=(n_{1}+n_{2},r_{1}+r_{2}),$

$(n_{1},r_{1})\cdot (n_{2},r_{2})=(n_{1}n_{2},n_{1}r_{2}+n_{2}r_{1}+r_{1}r_{2}).$

Łatwo sprawdzić, że struktura ${\hat {R}}=\mathbb {Z} \times R$ z powyższymi działaniami jest pierścieniem oraz że para $(1,0)$ jest jego jedynką.

Łatwo również zauważyć, że zbiór

$\{(0,r):r\in R\}$

jest podpierścieniem pierścienia ${\hat {R}}$ izomorficznym z $R.$ Izomorfizm ten realizuje więc zanurzenie $R$ w ${\hat {R}}.$ Pierścień $R$ jest przy tym ideałem pierścienia ${\hat {R}}.$

Jeśli oznaczyć $(1,0)$ jako $1,$ to $(n,r)$ gdzie $n\in \mathbb {Z}$ oraz $r\in R,$ można zapisać w postaci $n\cdot 1+r.$

Zobacz też

• moduł
• pierścień Boole’a
• półpierścień