Piramida Sierpińskiego
fraktal trójwymiarowy
Piramida Sierpińskiego, Gąbka Sierpińskiego, tetrix – zbiór fraktalny, trójwymiarowy odpowiednik trójkąta Sierpińskiego.
Konstrukcja edytuj
Piramida Sierpińskiego powstaje z czworościanu foremnego przez wykonanie następującego algorytmu:
- Weź ostrosłup o krawędzi długości x.
- Utwórz 4 ostrosłupy o krawędzi długości 1/2x i umieść je w przestrzeni tak, by zawierały się w dużym ostrosłupie oraz każdy miał wspólny jeden wierzchołek z dużym ostrosłupem.
- Usuń ośmiościan foremny, który pozostaje w środku dużego ostrosłupa (o wierzchołkach w 1/2x).
- Do każdego z 4 małych ostrosłupów zastosuj ten algorytm.
Po nieskończonej liczbie powtórzeń opisanych operacji otrzymujemy piramidę Sierpińskiego.
Własności edytuj
- Piramida Sierpińskiego jest continuum jednowymiarowym.
- Każda ściana piramidy Sierpińskiego jest trójkątem Sierpińskiego.
- Miara Lebesgue’a piramidy Sierpińskiego wynosi zero.
- Wymiar fraktalny piramidy wynosi 2.
Program w Mathematica edytuj
Krótki program w języku Mathematica. Procedura rekurencyjna SiPyramid generuje piramidę dowolnego rzędu n:
vect[1] = {0, 0, 0};
vect[2] = {1, 0, 0};
vect[3] = {0.5, 3^0.5/2, 0};
vect[4] = {0.5, 1/3*3^0.5/2, ((3^0.5/2)^2 - (1/3*3^0.5/2)^2)^0.5};
Tetron[{i_, j_, k_}] :=
Tetrahedron[{vect[1] + {i, j, k}, vect[2] + {i, j, k}, vect[3] + {i, j, k}, vect[4] + {i, j, k}}];
SiPyramid[0, {i_, j_, k_}] := {Tetron[{i, j, k}]};
SiPyramid[n_, {i_, j_, k_}] :=
Module[{s = {}},
Do[s = Union[s,
SiPyramid[n - 1, 2^(n - 1)*vect[u] + {i, j, k}]], {u, 4}]; s];