Podgrupa Frattiniego

Podgrupa Frattiniego – część wspólna wszystkich maksymalnych podgrup danej grupy. W przypadku gdy dana grupa nie posiada podgrup maksymalnych, jest ona równa swojej podgrupie Frattiniego. Często stosuje się równoznaczną definicję tej podgrupy jako zbioru elementów niegenerujących.

Definicja

Niech $G$ będzie grupą. $H$ jest podgrupą maksymalną $G$ jeśli nie istnieje taka grupa $H',$ że $H<H'<G.$ Podgrupą Frattiniego $\Phi (G)$ nazywamy część wspólną wszystkich podgrup maksymalnych $G.$

Zbiór elementów niegenerujących

Niech $S$ będzie zbiorem wszystkich elementów niegenerujących w $G,$ tj. takich $x\in G,$ że jeżeli pozdzbiór $M\subset G$ zawierający $x$ generuje $G$ to $M\backslash \{x\}$ też generuje $G.$ Wówczas zbiór $S$ pokrywa się z $\Phi (G).$

Dowód

• $S\subseteq \Phi (G).$

Jeśli $G$ nie zawiera podgrup maksymalnych – inkluzja jest oczywista. Niech $x\in S.$ Niech $H$ będzie podgrupą maksymalną. Jeśli $x\notin H$ to $(x,H)=G$ ($H$ jest podgrupą maksymalną nie zawierającą $x,$ zatem wspólnie generują całą przestrzeń). Ale $(H)\neq G$ co stoi w sprzeczności z tym, że $x$ jest elementem niegenerującym. Czyli $x$ musi należeć do każdej podgrupy maksymalnej. Stąd $x\in \Phi (G).$

• $\Phi (G)\subseteq S$

Niech istnieje element $x\in \Phi (G)$ który wraz z pewnym zbiorem $M$ generuje $G,$ lecz $(M)\neq G.$ Na mocy Lematu Kuratowskiego-Zorna istnieją podgrupy $H$ maksymalne wśród podgrup zawierających $M$ i niezawierających $x.$ Jest jasne, że wszystkie takie podgrupy są po prostu maksymalne, lecz wówczas zawierają one $\Phi (G),$ a wraz z nią element $x$ co stoi w sprzeczności z konstrukcją.

Przykłady

• W grupie $\mathbb {Z} ,$ wszystkie podgrupy $(p)$ generowane przez liczbę pierwszą $p$ są maksymalne. Zatem $\Phi (\mathbb {Z} )=\{0\}.$
• W grupie $\mathbb {Q}$ wszystkie elementy są niegenerujące, dlatego $\Phi (\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} .$

Bibliografia

• Michaił Iwanowicz Kargapołow, Jurij Iwanowicz Mierzlakow: Podstawy teorii grup. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 24–25.