Podgrupa torsyjna

Podgrupa torsyjna – podgrupa danej grupy składająca się ze wszystkich elementów skończonego rzędu. Grupę abelową nazywa się torsyjną albo periodyczną, jeżeli każdy jej element ma skończony rząd i beztorsyjną, jeśli dowolny nietożsamościowy element tej grupy jest nieskończonego rzędu (istnieją więc grupy, które nie są ani torsyjne, ani beztorsyjne). Podgrupę torsyjną oznacza się symbolem $A_{\operatorname {T} }.$ Niekiedy spotyka się również nazwę maksymalna podgrupa torsyjna zaznaczająca, iż podgrupa składa się z wszystkich elementów torsyjnych (w dalszej części artykułów pod nazwą „podgrupa torsyjna” będzie się rozumieć podgrupę o właśnie tych własnościach).

Dowód zamkniętości $A_{\operatorname {T} }$ ze względu na dodawanie opiera się na przemienności dodawania (zob. sekcja Przykłady).

Jeżeli $A$ jest abelowa, to jej podgrupa torsyjna $T$ jest całkowicie niezmienniczą podgrupą grupy $A,$ a jej grupa ilorazowa $A/T$ jest beztorsyjna (jest to maksymalna grupa o tej własności, przy czym jest ona wyznaczona jednoznacznie). Istnieje funktor kowariantny $\operatorname {T}$ z kategorii grup abelowych w kategorię grup torsyjnych, który odwzorowuje każdą grupę na jej podgrupę torsyjną, a każdy homomorfizm na jego zawężenie do podgrupy torsyjnej. Z tego względu podgrupę torsyjną grupy $A$ oznacza się czasem symbolem $\operatorname {T} (A).$ Istnieje również inny funktor kowariantny z kategorii grup abelowych w kategorię grup beztorsyjnych przekształcający każdą grupę w jej iloraz przez jej podgrupę torsyjną i każdy homomorfizm w odpowiednio indukowany homomorfizm (który jest dobrze określony, co dość łatwo sprawdzić).

Jeżeli $A$ jest skończenie generowana i abelowa, to można ją zapisać jako sumę prostą jej podgrupy torsyjnej $T$ i jej podgrupy beztorsyjnej (nie jest to jednak prawdą w przypadku nieskończenie generowanych grup abelowych). W dowolnym rozkładzie $A$ na sumę prostą podgrupy torsyjnej $S$ i jej części beztorsyjnej $S$ musi być równa $T$ (część beztorsyjna nie jest wyznaczona jednoznacznie). Jest to kluczowa obserwacja przy klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych.

Podgrupa torsyjna p-potęgowa

Dla dowolnej grupy abelowej $A$ i liczby pierwszej $p$ zbiór $A_{\operatorname {T} _{p}}$ elementów $A$ mających rząd wyrażający się pewną potęgą liczby $p$ tworzy podgrupę nazywaną podgrupą torsyjną p-potęgowa lub, mniej precyzyjnie, podgrupą p-torsyjną bądź p-składową:

$A_{\operatorname {T} _{p}}=\left\{a\in A\colon \exists _{n\in \mathbb {N} }\;p^{n}a=0\right\}.$

Na podstawie odpowiedniego faktu dotyczącego grup torsyjnych podgrupa torsyjna $A_{\operatorname {T} }$ jest izomorficzna z sumą prostą jej p-potęgowych podgrup torsyjnych wziętą po wszystkich liczbach pierwszych $p{:}$

$A_{\operatorname {T} }=\bigoplus _{p\in \mathbb {P} }A_{\operatorname {T} _{p}}.$

Jeżeli $A$ jest skończoną grupą abelową, to $A_{\operatorname {T} _{p}}$ pokrywa się z jednoznacznie wyznaczoną p-podgrupą Sylowa grupy $A.$

Każda p-potęgowa podgrupa torsyjna grupy $A$ jest podgrupą całkowicie niezmienniczą. Więcej, dowolny homomorfizm między grupami abelowymi odwzorowuje każdą z p-potęgowych podgrup torsyjnych na odpowiednią p-potęgową podgrupę torsyjną.

Stąd, dla każdej liczby pierwszej $p$ istnieje funktor $\operatorname {T} _{p}$ z kategorii grup abelowych w kategorię p-potęgowych grup torsyjnych, który odwzorowuje każdą grupę na jej p-potęgową podgrupę torsyjną i zawęża każdy homomorfizm do p-potęgowych podgrup torsyjnych. Stąd pochodzi również inne oznaczenie tych podgrup, mianowicie $\operatorname {T} _{p}(A).$ Iloczyn przebiegający zbiór wszystkich liczb pierwszych zawężeń tych funktorów do kategorii grup torsyjnych jest funktorem wiernym z kategorii grup torsyjnych w iloczyn przebiegający wszystkie liczby pierwsze kategorii grup p-torsyjnych. W pewnym sensie oznacza to, że osobne studiowanie grup p-torsyjnych w ogólności mówi wszystko o grupach torsyjnych i w ogólności: iż teoria grup torsyjnych redukuje się do teorii p-grup.

Przykłady i dalsze wyniki

• Podzbiór torsyjny grupy nieabelowej nie jest, w ogólności, podgrupą; w tym kontekście mówi się o części torsyjnej. Na przykład w nieskończonej grupie diedralnej o prezentacji

  $\langle x,y\colon x^{2}=y^{2}=1\rangle$

element $xy$ jest iloczynem dwóch elementów torsyjnych, ale ma rząd nieskończony.

• Elementy torsyjne w grupie nilpotentnej tworzą podgrupę normalną.
• Z definicji każda skończona grupa abelowa jest grupą torsyjną. Nie każda grupa torsyjna jest jednak skończona: niech dana będzie suma prosta przeliczalnie wiele egzemplarzy grup cyklicznych $\mathbb {Z} _{2};$ jest to grupa torsyjna, ponieważ każdy element ma rząd równy 2. W ten sposób w grupach torsyjnych może być brak górnego ograniczenia względem rzędów elementów, o ile nie jest ona skończenie generowana, jak to widać na przykładzie grupy ilorazowej $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} .$
• Każda grupa abelowa wolna jest beztorsyjna, odwrotne twierdzenie jest nieprawdziwe: przykładem może być grupa addytywna liczb wymiernych $\mathbb {Q} .$
• Nawet jeśli $A$ nie jest skończenie generowana, to rozmiar jej części beztorsyjnej jest jednoznacznie wyznaczony, jak to bliżej przedstawiono w artykule dotyczącym rangi grupy abelowej.
• Grupa abelowa $A$ jest beztorsyjna wtedy i tylko wtedy, gdy jest płaska jako $\mathbb {Z}$-moduł, co oznacza, że jeśli $C$ jest podgrupą pewnej grupy abelowej $B,$ to przekształcenie naturalne z iloczynu tensorowego $C\otimes A$ w $B\otimes A$ jest różnowartościowe.
• Wzięcie iloczynu tensorowego grupy $A$ z $\mathbb {Q}$ (lub dowolną inną grupą podzielną) gubi jej część torsyjną. Oznacza to, że jeśli $T$ jest grupą torsyjną, to $T\otimes \mathbb {Q} =0.$ Dla dowolnej grupy abelowej $A$ o podgrupie torsyjnej $T$ zachodzi

  $A\otimes \mathbb {Q} =A/T\otimes \mathbb {Q} .$

Zobacz też

• torsja