Podkategoria reflektywna

Podkategoria reflektywna – pojęcie używane w matematyce, w teorii kategorii.

Definicja

Podkategorię ${\mathcal {A}}$ kategorii ${\mathcal {B}}$ nazywamy podkategorią reflektywną, jeżeli istnieje, zwany reflektorem, funktor ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {A}}$ lewostronnie sprzężony do funktora włożenia ${\mathcal {I}}\colon {\mathcal {A}}\hookrightarrow {\mathcal {B}}.$ Równoważnie oznacza to, że dla każdego obiektu $B\in Ob({\mathcal {B}})$ istnieje obiekt $A_{B}\in Ob({\mathcal {A}})$ oraz, zwany ${\mathcal {A}}$-reflektem obiektu $B,$ morfizm $\mu _{B}\colon B\to A_{B}$ taki, że dla dowolnego ${\mathcal {B}}$-morfizmu $f\colon B\to A,$ gdzie $A\in Ob({\mathcal {A}}),$ istnieje dokładnie jeden ${\mathcal {A}}$-morfizm $g\colon A_{B}\to A$ taki, że $f=g\circ \mu _{B},$ tj. poniższy diagram jest przemienny.

średni

Należy nadmienić, że można spotkać w literaturze definicję zakładającą dodatkowo, że podkategoria ${\mathcal {A}}$ jest pełna.

Przykłady

• Pełna podkategoria grup abelowych jest podkategorią reflektywną kategorii grup i homomorfizmów. Reflektorem jest funktor abelianizacji.
• Pełna podkategoria zwartych przestrzeni Hausdorffa jest podkategorią reflektywną kategorii przestrzeni Tichonowa i odwzorowań ciągłych. Reflektorem jest funktor uzwarcenia Čecha-Stone’a.