Poprawka Holma-Bonferroniego

Poprawka Holma-Bonferroniego, metoda Holma – w statystyce narzędzie służące do przeciwdziałania problemowi porównań wielokrotnych przez zastosowanie poprawki względem poziomu istotności każdego z grupy testów. Technikę tę opisał szwedzki statystyk Holm w 1979 r., jako ulepszenie poprawki Bonferroniego, tak samo kontrolujące błędy I rodzaju, w większym stopniu zachowujące moc statystyczną badania i odporne na różne postaci danych.

Metoda polega na uszeregowaniu testów według uzyskanej wartości p, od najmniejszej do największej, i uznaniu za istotne statystycznie określonej części najniższych wartości. Dla $m$ testów, o numerze $k$ w szeregu, wartość p każdego z nich, $P_{(k)},$ jest kolejno porównywana z wartością skorygowaną:

$P_{(k)}>{\frac {\alpha }{m+1-k}}.$

Przykładowo, w przypadku czterech testów, pierwsza wartość p jest porównywana z ${\frac {\alpha }{4}},$ druga z ${\frac {\alpha }{3}},$ trzecia z ${\frac {\alpha }{2}}$ i czwarta z $\alpha .$ W klasycznej poprawce Bonferroniego każda wartość byłaby porównana z ${\frac {\alpha }{4}},$ co zawyża ryzyko uznania prawdziwej hipotezy alternatywnej za fałszywą (popełnienia błędu II rodzaju).

Dowód

Wzór na poprawkę Holma można wywieść w następujący sposób. Załóżmy, że w uszeregowanej grupie liczącej $m$ testów znajduje się pewna liczba testów prawdziwych hipotez o wartościach p $R_{i},$ które reprezentuje zbiór $I$ pozycji $i$ w szeregu od najmniejszej do największej. Z nierówności Boole’a wynika, że:

$P\left(R_{i}>{\frac {\alpha }{m}}{\text{ dla wszystkich }}i\in I\right)=1-P\left(R_{i}<{\frac {\alpha }{m}}{\text{ dla niektorych }}i\in I\right)\geqslant 1-\sum _{i\in I}P\left(R_{i}\leqslant {\frac {\alpha }{m}}\right)\geqslant 1-m{\frac {\alpha }{m}}=1-\alpha .$