Potęga punktu

Potęga punktu $A$ względem okręgu $o$ – liczba równa $P(A,o)=|AO|^{2}-r^{2},$ gdzie $O$ jest środkiem okręgu $o,$ $r$ jego promienieniem. Z definicji wynika, że

• $P(A,o)>0$ dla punktu leżącego na zewnątrz okręgu. $P(A,o)$ jest wtedy równe kwadratowi długości stycznej poprowadzonej z punktu $A$ do okręgu $o$ (rys. 1).
• $P(A,o)<0$ dla punktu leżącego wewnątrz okręgu. $P(A,o)$ jest liczbą przeciwną do kwadratu połowy najkrótszej cięciwy okręgu $o$ przechodzącej przez punkt $A$ (rys. 2).
• $P(A,o)=0$ dla punktów $A$ leżących na okręgu.

Rys. 1. Potęga punktu na zewnątrz okręgu jest równa kwadratowi długości stycznej poprowadzonej z punktu A do okręgu o

Rys. 2. Potęga punktu wewnątrz okręgu jest liczbą przeciwną do kwadratu połowy najkrótszej cięciwy okręgu o przechodzącej przez punkt A

Punkty o stałej potędze względem danego okręgu leżą na jednym okręgu.

Twierdzenie. Niech będzie dany punkt A.
Jeśli punkty $B,C$ będą punktami przecięcia dowolnej prostej $k$ przechodzącej przez punkt $A$ z okręgiem $o,$ to

• $P(A,o)=|AB|\cdot |AC|,$ jeśli A leży na zewnątrz okręgu,
• $P(A,o)=-|AB|\cdot |AC|,$ jeśli A leży wewnątrz okręgu.

Jeśli punkt $D$ jest punktem styczności prostej $k$ z okręgiem, to

• $P(A,o)=|AD|^{2}$.

Dowód. Zgodnie z twierdzeniem o siecznych iloczyn $|AB|\cdot |AC|$ jest taki sam niezależnie od wyboru cięciwy wyznaczonej przez $k.$ Jeśli jedną z tych cięciw będzie średnica okręgu, to zajdzie równość $|AB|\cdot |AC|=(|AO|-r)\cdot (|AO|+r)=|AO|^{2}-r^{2}.$ Stąd teza.

W przypadku punktu leżącego wewnątrz okręgu dowód jest analogiczny.

Zobacz też

• prosta potęgowa