Presnop

Presnopem określonym na przestrzeni topologicznej $X$ nazywamy funkcję ${\mathcal {F}}$ określoną na rodzinie ${\mathfrak {O}}$ wszystkich podzbiorów otwartych tej przestrzeni, taką że dla dowolnych zbiorów $U,V\in {\mathfrak {O}},U\subset V$ określona jest funkcja

$\rho _{U}^{V}:{\mathcal {F}}(V)\to {\mathcal {F}}(U)$

o własnościach:

1. ${\mathcal {F}}(\varnothing )$ składa się z jednego elementu,
2. $\rho _{U}^{U}=\operatorname {Id} _{U}$ ($\rho _{U}^{U}$ jest przekształceniem tożsamościowym na $U$),
3. dla dowolnych zbiorów otwartych $U\subset V\subset W{:}$ $\rho _{U}^{W}=\rho _{U}^{V}\circ \rho _{V}^{W}$.

Czasem taki presnop oznacza się przez ${\mathcal {F}}.$ Jeśli istotne jest podkreślenie, że funkcja $\rho _{U}^{V}$ jest związana z presnopem ${\mathcal {F}},$ to stosowane jest oznaczenie $\rho _{U,{\mathcal {F}}}^{V}.$ Funkcja $\rho _{U}^{V}$ jest nazywana odwzorowaniem ograniczenia.

Jeśli wszystkie zbiory ${\mathcal {F}}(V)$ są grupami, modułami nad ustalonym pierścieniem, albo pierścieniami, a odwzorowania $\rho _{U}^{V}$ są homomorfizmami tych struktur algebraicznych, to presnop nazywany jest odpowiednio presnopem grup, modułów, albo pierścieni.

Własności

• Presnop grup abelowych można zdefiniować jako funktor kontrawariantny z kategorii podzbiorów otwartych przestrzeni $X$ w kategorię grup abelowych.
• Można definiować presnop jako funktor kowariantny z kategorii podzbiorów otwartych przestrzeni $X$ w dowolną kategorię.

Przykłady

• Jeśli $M$ jest zbiorem, ${\mathcal {F}}(U)$ jest zbiorem wszystkich funkcji na $U$ o wartościach w $M$ oraz $\rho _{U}^{V}(f)=f|_{U}$ dla $f\in {\mathcal {F}}(V),$ to ${\mathcal {F}}$ jest nazywany presnopem wszystkich funkcji na $X$.
• Jeśli $M$ jest przestrzenią topologiczną, ${\mathcal {F}}(U)$ jest zbiorem wszystkich funkcji ciągłych na $U$ o wartościach w $M,$ a $\rho _{U}^{V}$ jest określone tak, jak w poprzednim przykładzie, to ${\mathcal {F}}$ jest nazywany presnopem funkcji ciągłych na $X$.
• Każdy presnop generuje pewien snop. Niech ${\mathcal {F}}$ będzie presnopem na przestrzeni topologicznej $X.$ Dla każdego zbioru otwartego $U\subset X$ niech $U\times {\mathcal {F}}(U)$ będzie iloczynem kartezjańskim przestrzeni topologicznych: $U$ z topologią indukowaną przez topologię $X$ oraz ${\mathcal {F}}(U)$ z topologią dyskretną. Niech $E=\bigsqcup _{U\subset X}(U\times {\mathcal {F}}(U))$ będzie sumą rozłączną tych przestrzeni, gdzie $U$ przebiega zbiór wszystkich zbiorów otwartych w $X.$ Na tej przestrzeni można określić relację równoważności $R{:}$

dla $(x,s)\in U\times {\mathcal {F}}(U)$ i $(y,t)\in V\times {\mathcal {F}}(V){:}$

$(x,s)R(y,t)\Leftrightarrow (x=y\land \exists _{x\in W\subset U\cap V}\rho _{W}^{U}(s)=\rho _{W}^{V}(t)).$

Wtedy przestrzeń ilorazowa ${\mathfrak {F}}={\mathcal {F}}/R$ z rzutowaniem $\pi :{\mathfrak {F}}\to X$ indukowanym przez rzutowanie $p:E\to X$ określone wzorem $p(x,s)=x$ jest snopem na $X$ nazywanym snopem generowanym przez presnop ${\mathcal {F}}.$

• Istnieją presnopy, które nie są snopami.