Problem Dirichleta

Problem Dirichleta polega na znalezieniu funkcji harmonicznej dla danego obszaru z danymi wartościami na brzegu. Problem ten został po raz pierwszy postawiony przez Lejeune’a Dirichleta dla równania Laplace’a.

Przykład – Równanie struny skończonej przymocowanej do ruchomego końca

Rozważmy problem Dirichleta dla równanie falowego opisujący strunę zamocowaną pomiędzy ścianami na stałe do jednego koṅca z drugim koṅcem poruszającym się liniowo, tzn. równanie d’Alemberta na trójkątnym obszarze iloczynu kartezjańskiego czasu i przestrzeni:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x,t)-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)=0,$

$u(0,t)=0,$

$u(\lambda t,t)=0.$

Jak łatwo sprawdzić przez podstawienie rozwiązaniem równania z pierwszym warunkiem jest

$u(x,t)=f(t-x)-f(x+t).$

Chcemy ponadto

$f(t-\lambda t)-f(\lambda t+t)=0.$

Podstawiając

$\tau =(\lambda +1)t,$

otrzymujemy warunek samopodobieństwa,

$f(\gamma \tau )=f(\tau )$

gdzie:

$\gamma ={\frac {1-\lambda }{\lambda +1}}.$

Spełnia go np. funkcja złożona

$\sin[\log(e^{2\pi }x)]=\sin[\log(x)]$

z $\lambda =e^{2\pi }=1^{-i},$ więc w ogólności

$f(\tau )=g[\log(\gamma \tau )],$

gdzie $g$ jest funkcją periodyczną z okresem $\log(\gamma )$

$g[\tau +\log(\gamma )]=g(\tau )$

i otrzymujemy więc ogólne rozwiązanie

$u(x,t)=g[\log(t-x)]-g[\log(x+t)].$

Zobacz też

• warunki brzegowe