Przestrzeń Hewitta

Przestrzeń Hewitta (albo Q-przestrzeń; w literaturze anglojęzycznej realcompact space) – przestrzeń topologiczna, która jest homeomorficzna z podzbiorem domkniętym produktu $\kappa$ kopii prostej rzeczywistej dla pewnej liczby kardynalnej $\kappa .$ Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska matematyka, Edwina Hewitta, który rozważał tego typu przestrzenie w swojej pracy z roku 1948.

Własności

Przestrzeń Tichonowa $X$ jest przestrzenią Hewitta wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje taka przestrzeń Tichonowa $Y,$ że

1. istnieje zanurzenie homeomorficzne $r\colon X\to Y$ takie, że $r(X)\neq {\mbox{cl}}_{Y}r(X)=Y,$
2. dla każdego przekształcenia $f\colon X\to \mathbb {R}$ istnieje przekształcenie $g\colon Y\to \mathbb {R}$ takie, że $g\circ r=f.$

Z definicji przestrzeni Hewitta wynikają następujące własności:

• domknięty podzbiór przestrzeni Hewitta jest przestrzenią Hewitta,
• produkt dowolnej rodziny przestrzeni Hewitta jest przestrzenią Hewitta,
• granica odwrotna systemu odwrotnego przestrzeni Hewitta jest przestrzenią Hewitta,
• przekrój rodziny podprzestrzeni będących przestrzeniami Hewitta, pewnej przestrzeni topologicznej jest przestrzenią Hewitta.

Inną charakteryzację tej klasy przestrzeni można podać w języku uzwarceń Čecha-Stone’a:

• przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią Hewitta wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu $x_{0}\in \beta X\setminus X$ istnieje funkcja $f\colon \beta X\to \mathbb {R}$ taka, że $f(x_{0})=0$ oraz $f(x)>0$ dla $x\in X.$

Wnioskiem z tego twierdzenia jest następujący fakt:

• Każda przestrzeń Lindelöfa jest przestrzenią Hewitta.

Twierdzenie Hewitta

Istnieje charakteryzacja klasy przestrzeni Hewitta w języku dwuwartościowych miar Baire’a. Jest to tzw. twierdzenie Hewitta:

• Przestrzeń Tichonowa jest przetrzenią Hewitta wtedy i tylko wtedy każda miara $\mu \colon {\mathcal {B}}(X)\to \{0,1\}$ jest miarą Diraca,

gdzie ${\mathcal {B}}(X)$ oznacza rodzinę podzbiorów $X$ o własności Baire’a. Nie każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią Hewitta – np. miara Dieudonnégo, określona na ${\mathcal {B}}(\omega _{1}),$ nie jest miarą Diraca. Ponadto, przestrzeń $\{0,1\}^{\kappa }$ jest przestrzenią Hewitta wtedy i tylko wtedy, gdy $\kappa$ jest liczbą niemierzalną.

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1976, s. 266–274.