Niech (X ,μ) będzie przestrzenią z miarą oraz niech 0 < p < ∞, 0 < q ≤ ∞.
Przestrzenią Lorentza L p,q nazywa się przestrzeń wszystkich zespolonych funkcji mierzalnych na X dla których wartość
‖
f
‖
L
p
,
q
(
X
,
μ
)
=
p
1
/
q
‖
t
μ
{
|
f
|
≥
t
}
1
/
p
‖
L
q
(
R
+
,
d
t
t
)
{\displaystyle \|f\|_{L_{p,q}(X,\mu )}=p^{1/q}\|t\mu \{|f|\geq t\}^{1/p}\|_{L_{q}(\mathbb {R} ^{+},{\frac {dt}{t}})}}
jest skończona (jest to wówczas quasinorma zupełna w tej przestrzeni).
W przypadku q < ∞, zachodzi następujący wzór
‖
f
‖
L
p
,
q
(
X
,
μ
)
=
p
1
/
q
(
∫
0
∞
t
q
μ
{
x
∣
|
f
(
x
)
|
≥
t
}
q
/
p
d
t
t
)
1
/
q
.
{\displaystyle \|f\|_{L_{p,q}(X,\mu )}=p^{1/q}\left(\int _{0}^{\infty }t^{q}\mu \left\{x\mid |f(x)|\geq t\right\}^{q/p}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{1/q}.}
natomiast gdy q = ∞ prawdziwy jest wzór
‖
f
‖
L
p
,
∞
(
X
,
μ
)
p
=
sup
t
>
0
(
t
p
μ
{
x
∣
|
f
(
x
)
|
>
t
}
)
.
{\displaystyle \|f\|_{L_{p,\infty }(X,\mu )}^{p}=\sup _{t>0}\left(t^{p}\mu \left\{x\mid |f(x)|>t\right\}\right).}
Umownie, definiuje się L∞,∞ (X ,μ) = L∞ (X ,μ). W przypadku, gdy p =q przestrzenie Lorentza są przestrzeniami L p , tj. L p ,p = L p .
Wyżej skonstruowane quasi-przestrzenie Banacha można unormować dla p ∈ (1, ∞), q ∈ [1, ∞]. Niech f będzie zespoloną funkcją mierzalną na X oraz niech funkcja
f
∗
:
[
0
,
∞
)
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle f^{*}:[0,\infty )\rightarrow [0,\infty ]}
będzie zdefiniowana wzorem
f
∗
(
t
)
=
inf
{
α
∈
R
+
:
d
f
(
α
)
≤
t
}
{\displaystyle f^{*}(t)=\inf\{\alpha \in \mathbb {R} ^{+}:d_{f}(\alpha )\leq t\}}
gdzie d ƒ jest tzw. dystrybuantą funkcji ƒ , daną wzorem
d
f
(
α
)
=
μ
(
{
x
∈
X
:
|
f
(
x
)
|
>
α
}
)
{\displaystyle d_{f}(\alpha )=\mu (\{x\in X\colon |f(x)|>\alpha \})}
(powyżej umownie przyjęto, że infimum zbioru pustego wynosi ∞.
Dla p ∈ (1, ∞), q ∈ [1, ∞] funkcja
‖
f
‖
L
p
,
q
=
{
(
∫
0
∞
(
t
1
p
f
∗
(
t
)
)
q
d
t
t
)
1
q
q
∈
(
0
,
∞
)
,
sup
t
>
0
t
1
p
f
∗
(
t
)
q
=
∞
.
{\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}=\left\{{\begin{array}{l l}\left(\int _{0}^{\infty }(t^{\frac {1}{p}}f^{*}(t))^{q}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}&q\in (0,\infty ),\\\displaystyle \sup _{t>0}t^{\frac {1}{p}}f^{*}(t)&q=\infty .\end{array}}\right.}
jest normą w przestrzeni Lorentza L p ,q .
↑ G. Lorentz, Some new function spaces, Annals of Mathematics 51 (1950), 37-55.
↑ G. Lorentz, On the theory of spaces Λ, Pacific Journal of Mathematics 1 (1951), pp. 411-429.