Przestrzeń całkowicie niespójna

Przestrzeń całkowicie niespójna – przestrzeń topologiczna, która jest maksymalnie niespójna w tym sensie, iż nie ma nietrywialnych podzbiorów spójnych. W dowolnej przestrzeni topologicznej zbiór pusty i zbiory jednopunktowe są spójne; w przestrzeni całkowicie niespójnej są to jedyne zbiory spójne.

Definicja formalna

Przestrzeń topologiczna $X$ jest całkowicie niespójna, jeżeli składowymi spójności $X$ są wyłącznie zbiory jednopunktowe.

Przykłady

Przestrzeniami całkowicie niespójnymi są m.in.:

• przestrzenie dyskretne,
• liczby wymierne i liczby niewymierne,
• przestrzeń Baire'a,
• prosta Sorgenfreya,
• zerowymiarowe przestrzenie T₁,
• ekstremalnie niespójne przestrzenie Hausdorffa,
• przestrzenie Stone’a.

Ważnym przykładem przestrzeni całkowicie niespójnej jest zbiór Cantora. Innym, odgrywającym kluczową rolę w algebraicznej teorii liczb, jest ciało $\mathbb {Q} _{p}$ liczb p-adycznych (ogólniej, całkowicie niespójna jest dowolna grupa proskończona).

Miotełka Kuratowskiego jest przykładem przestrzeni spójnej, usunięcie z której dowolnego punktu daje czyni z niej przestrzeń całkowicie niespójną. Przestrzeń Erdősa $\ell ^{p}(\mathbb {Z} )\cap \mathbb {Q} ^{\omega }$ jest przestrzenią całkowicie niespójną, która nie jest wymiaru zero.

Zobacz też

• przestrzeń punktokształtna