Przestrzeń ciągowo zwarta

Przestrzeń ciągowo zwarta – przestrzeń topologiczna w której, każdy ciąg punktów tej przestrzeni zawiera podciąg zbieżny. Podzbiór przestrzeń topologicznej jest ciągowo zwarty, jeśli zbiór ten z topologią indukowaną jest przestrzenią ciągowo zwartą.

W przypadku przestrzeni metryzowalnych pojęcie ciągowej zwartości równoważne jest zwartości.

Przykłady i kontrprzykłady

• Najmniejsza nieprzeliczalna liczba porządkowa ω₁ (z topologią porządkową) jest przestrzenią ciągowo zwartą, która nie jest zwarta.

Dowód. Niech (α_n) będzie ciągiem przeliczalnych liczb porządkowych. Jeżeli zbiór wartości tego ciągu jest skończony, to (α_n) zawiera podciąg stały, a więc zbieżny. Gdy zbiór wartości ciągu (α_n) jest nieskończony, to indukcyjnie można wybrać ściśle rosnący (w sensie porządku w ω₁) podciąg (α_nk) ciągu (α_n). Jednak dla ściśle rosnących ciągów liczb porządkowych zachodzi lim α_nk = sup α_nk. Ponadto, sup α_nk = ∪_k α_nk ∈ ω₁ (por. arytmetyka liczb porządkowych), gdyż suma przeliczalnie wielu zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna. □

• Przestrzeń zwarta nie musi być ciągowo zwarta. Niech I = [0,1]. Wówczas z twierdzenia Tichonowa wynika, że kostka Cantora {0,1}^I jest zwarta. Nie jest ona jednak ciągowo zwarta.

Dowód. Niech [x] oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej x. Dla każdej liczby t w przedziale [0,1] niech dany będzie ciąg (t_n) określony wzorem t_n = 10ⁿt - [10ⁿt]. Funkcje f_n: I → {0,1} dane wzorami f_n(t) = 0, gdy t < t_n i f_n(t) = 1, gdy t ≥ t_n są elementami przestrzeni produktowej {0,1}^I, której topologia jest de facto topologią zbieżności punktowej. Ciąg (f_n) nie ma podciągu zbieżnego (tj. kostka Cantora {0,1}^I nie jest ciągowo zwarta). Rzeczywiście, niech n(1) < n(2) < ... będzie dowolnym ściśle rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Ponieważ funkcje f_n przyjmują tylko dwie wartości, więc istnieje taka liczba t w przedziale [0,1], że ciąg wartości (f_n(1)(t), f_n(2)(t), f_n(3)(t), ...) zawiera nieskończenie wiele zarówno zer jak i jedynek, co pokazuje, że granica podciągu (f_n(1), f_n(2), f_n(3), ...) w punkcie t nie istnieje. □

• Twierdzenie Eberleina-Szmuljana stwierdza, że słabo zwarte podzbiory przestrzeni Banacha to dokładnie te zbiory, które są ciągowo zwarte w słabej topologii. W szczególności, każda przestrzeń Eberleina jest ciągowo zwarta.
• Z twierdzenia Banacha-Alaoglu wynika, że kula jednostkowa B_ℓ∞* przestrzeni sprzężonej ℓ_∞* jest zwarta w *-słabej topologii. Nie jest ona jednak ciągowo zwarta, gdyż ciąg funkcjonałów (f_n) ⊂ B_ℓ∞* danych wzorami

$\langle f_{n},(\xi _{k})_{k=1}^{\infty }\rangle =\xi _{n}\;\;\;{\big (}n\in \mathbb {N} ,\;(\xi _{k})_{k=1}^{\infty }\in \ell _{\infty }{\big )}$

nie ma podciągu zbieżnego. Wynika stąd, że B_ℓ∞* nie jest ciągowo *-słabo zwarta.

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 261.