Funkcje skoku
edytuj
Klasyfikacja punktów
edytuj
Rozpatrzmy funkcję:
f
:
T
→
R
,
{\displaystyle f\colon \mathbb {T} \to \mathbb {R} ,}
(R można również zastąpić dowolną przestrzenią Banacha ).
Δ-pochodną funkcji
f
{\displaystyle f}
nazwiemy liczbę
f
Δ
(
t
)
{\displaystyle f^{\Delta }(t)}
∀
ε
>
0
∃
δ
>
0
∀
s
∈
B
(
t
,
δ
)
∩
T
|
f
(
σ
(
t
)
)
−
f
(
s
)
−
f
Δ
(
t
)
(
σ
(
t
)
−
s
)
|
⩽
ε
|
σ
(
t
)
−
s
|
{\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{s\in B(t,\delta )\cap \mathbb {T} }\;\;|f(\sigma (t))-f(s)-f^{\Delta }(t)(\sigma (t)-s)|\leqslant \varepsilon |\sigma (t)-s|}
jeżeli
t
=
σ
(
t
)
{\displaystyle t=\sigma (t)}
f
{\displaystyle f}
t
,
{\displaystyle t,}
f
Δ
(
t
)
=
lim
s
→
t
f
(
t
)
−
f
(
s
)
t
−
s
,
{\displaystyle f^{\Delta }(t)=\lim _{s\to t}{\frac {f(t)-f(s)}{t-s}},}
jeżeli
t
<
σ
(
t
)
{\displaystyle t<\sigma (t)}
f
{\displaystyle f}
t
{\displaystyle t}
f
Δ
(
t
)
=
f
(
σ
(
t
)
)
−
f
(
t
)
μ
(
t
)
.
{\displaystyle f^{\Delta }(t)={\frac {f{\big (}\sigma (t){\big )}-f{\big (}t{\big )}}{\mu (t)}}.}
Jeśli
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
Δ
{\displaystyle \Delta }
t
∈
T
,
{\displaystyle t\in \mathbb {T} ,}
(
α
f
+
β
g
)
Δ
(
t
)
=
α
f
Δ
(
t
)
+
β
g
Δ
(
t
)
,
{\displaystyle (\alpha f+\beta g)^{\Delta }(t)=\alpha f^{\Delta }(t)+\beta g^{\Delta }(t),}
(
f
g
)
Δ
(
t
)
=
f
Δ
(
t
)
g
(
σ
(
t
)
)
+
f
(
t
)
g
Δ
(
t
)
=
f
Δ
(
t
)
g
(
t
)
+
f
(
σ
(
t
)
)
g
Δ
(
t
)
,
{\displaystyle (fg)^{\Delta }(t)=f^{\Delta }(t)g(\sigma (t))+f(t)g^{\Delta }(t)=f^{\Delta }(t)g(t)+f(\sigma (t))g^{\Delta }(t),}
jeżeli dodatkowo
g
(
t
)
g
(
σ
(
t
)
)
≠
0
{\displaystyle g(t)g(\sigma (t))\neq 0}
(
f
g
)
Δ
(
t
)
=
f
Δ
(
t
)
g
(
t
)
−
f
(
t
)
g
Δ
(
t
)
g
(
t
)
g
(
σ
(
t
)
)
=
f
Δ
(
t
)
g
(
σ
(
t
)
)
−
f
(
σ
(
t
)
)
g
Δ
(
t
)
g
(
t
)
g
(
σ
(
t
)
)
.
{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)^{\Delta }\!(t)={\frac {f^{\Delta }(t)g(t)-f(t)g^{\Delta }(t)}{g(t)g(\sigma (t))}}={\frac {f^{\Delta }(t)g(\sigma (t))-f(\sigma (t))g^{\Delta }(t)}{g(t)g(\sigma (t))}}.}
Rozpatrzmy funkcję:
f
:
T
→
R
.
{\displaystyle f\colon \mathbb {T} \to \mathbb {R} .}
Funkcją pierwotną funkcji
f
{\displaystyle f}
F
:
T
→
R
{\displaystyle F\colon \mathbb {T} \to \mathbb {R} }
∀
t
∈
T
F
Δ
(
t
)
=
f
(
t
)
.
{\displaystyle \forall _{t\in \mathbb {T} }\;F^{\Delta }(t)=f(t).}
Funkcję
f
{\displaystyle f}
pg -ciągłą, jeżeli jest ciągła w punktach prawostronnie gęstych i istnieje skończona lewostronna granica w punktach lewostronnie gęstych.
Twierdzenie
Dla każdej funkcji pg -ciągłej istnieje jej funkcja pierwotna, na dodatek wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do stałej.
Powyższe twierdzenie pozwala na zdefiniowanie całki dla funkcji pg -ciągłych:
∫
t
0
t
f
(
x
)
Δ
x
:=
F
(
t
)
−
F
(
t
0
)
.
{\displaystyle \int \limits _{t_{0}}^{t}f(x)\Delta x\;:=F(t)-F(t_{0}).}
Własności całki:
∫
a
b
α
f
(
t
)
+
β
g
(
t
)
Δ
t
=
α
∫
a
b
f
(
t
)
Δ
t
+
β
∫
a
b
g
(
t
)
Δ
t
,
{\displaystyle \int _{a}^{b}\alpha f(t)+\beta g(t)\Delta t=\alpha \int _{a}^{b}f(t)\Delta t+\beta \int _{a}^{b}g(t)\Delta t,}
∫
t
σ
(
t
)
f
(
τ
)
Δ
τ
=
f
(
t
)
μ
(
t
)
,
{\displaystyle \int _{t}^{\sigma (t)}f(\tau )\Delta \tau =f(t)\mu (t),}
[
a
,
b
]
⊂
T
⇒
∫
a
b
f
(
t
)
Δ
t
=
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {T} \Rightarrow \int _{a}^{b}f(t)\Delta t=\int _{a}^{b}f(t)dt,}
∫
a
b
f
(
t
)
Δ
t
=
−
∫
b
a
f
(
t
)
Δ
t
,
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\Delta t=-\int _{b}^{a}f(t)\Delta t,}
∫
a
b
f
(
t
)
Δ
t
=
∫
a
c
f
(
t
)
Δ
t
+
∫
c
b
f
(
t
)
Δ
t
,
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\Delta t=\int _{a}^{c}f(t)\Delta t+\int _{c}^{b}f(t)\Delta t,}
|
f
(
t
)
|
⩽
g
(
t
)
⇒
|
∫
a
b
f
(
t
)
Δ
t
|
⩽
∫
a
b
g
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle |f(t)|\leqslant g(t)\Rightarrow \left|\int _{a}^{b}f(t)\Delta t\right|\leqslant \int _{a}^{b}g(t)dt.}
Podstawowe przykłady
edytuj
Jeżeli za
T
{\displaystyle \mathbb {T} }
R
,
{\displaystyle \mathbb {R} ,}
σ
(
t
)
=
t
,
μ
(
t
)
=
0
,
f
Δ
(
t
)
=
f
′
(
t
)
,
∫
t
0
t
f
(
x
)
Δ
x
=
∫
t
0
t
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \sigma (t)=t,\;\mu (t)=0,\;f^{\Delta }(t)=f'(t),\;\int \limits _{t_{0}}^{t}f(x)\Delta x=\int \limits _{t_{0}}^{t}f(x)dx.}
Jeżeli za
T
{\displaystyle \mathbb {T} }
Z
,
{\displaystyle \mathbb {Z} ,}
σ
(
t
)
=
t
+
1
,
μ
(
t
)
=
1
,
f
Δ
(
t
)
=
Δ
f
(
t
)
,
∫
t
0
t
f
(
x
)
Δ
x
=
∑
t
0
t
−
1
f
(
x
)
.
{\displaystyle \sigma (t)=t+1,\;\mu (t)=1,\;f^{\Delta }(t)=\Delta f(t),\;\int \limits _{t_{0}}^{t}f(x)\Delta x=\sum \limits _{t_{0}}^{t-1}f(x).}
![{\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {T} \Rightarrow \int _{a}^{b}f(t)\Delta t=\int _{a}^{b}f(t)dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa0d9b5829a0ee29fcc0a70316ac9945be19547e)
