Punkt Heegnera
Punkt Heegnera – punkt na krzywej modularnej, który jest obrazem punktu kwadratowego na górnej półpłaszczyźnie zespolonej. Definicję podał Bryan Birch i nazwał na cześć Kurta Heegnera, który używał podobnych idei do udowodnienia hipotezy Gausa dla urojonych ciał kwadratowych o liczbie klas równej jeden.
Twierdzenie Grossa–Zagiera[1] opisuje wysokość punktu Heegnera w sensie pochodnej L-funkcji krzywej eliptycznej w punkcie s = 1. W szczegółności jeśli krzywa eliptyczna ma (analityczny) rząd 1, wtedy punkty Heegnera mogą zostać użyte do konstrukcji punktu rzeczywistego na krzywej nieskończonego rzędu (więc grupa Modrella-Weila ma rząd co najmniej 1). W ogólności pokazano[2], że punktów Heegnera można użyć do skonstruowania punktów rzeczywistych na krzywej dla każdego dodatniego i całkowitego n, a wysokości tych punktów są współczynnikami formy modularnej o wadze 3/2.
Wiktor Koływagin użył punktów Heegnera do skonstruowania systemów Eulera i wykorzystał do udowodnienia większości hipotezy Bircha–Swinnertona-Dyera dla krzywych eliptycznych rzędu 1. Shouwu Zhang uogólnił twierdzenie Grossa–Zagiera z krzywych eliptycznych na przypadki modularnych rozmaitości abelowych. Brown udowodnił hipotezę Bircha–Swinnertona-Dyera dla wielu krzywych eliptycznych rzędu 1 nad ciałami globalnymi o dodatniej charakterystyce[3].
Punktów Heegnera można użyć do wyznaczenia bardzo dużych punktów rzeczywistych na krzywych eliptycznych rzędu 1[4], których nie można by znaleźć dzięki metodom naiwnym. Implementacja algorytmu jest dostępna w Magmie i PARI/GP.
Przypisy edytuj
Bibliografia edytuj
- Bryan Birch: Heegner points: the beginnings. W: Heegner Points and Rankin L-Series. Edytorzy Henri Darmon i Shou-Wu Zhang. T. 49. Cambridge: Cambridge University Press, seria: Mathematical Sciences Research Institute Publications. ISBN 0-521-83659-X. (ang.).
- Martin L. Brown: Heegner modules and elliptic curves. T. 1849. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag, 2004, seria: Lecture Notes In Mathematics. ISBN 3-540-22290-1. (ang.).
- Mark Brown. On a conjecture of Tate for elliptic surfaces over finite fields. „Proceedings of London Mathematical Society”. 69 (3), s. 489–514, 1994. DOI: 10.1112/plms/s3-69.3.489.
- Heegner points and Rankin L-series. Edytorzy Henri Darmon i Shou-Wu Zhang. T. 49. Cambridge: Cambridge University Press, 2004, seria: Mathematical Sciences Research Institute Publications. ISBN 978-0-521-83659-3. (ang.).
- Benedict H. Gross, Don B. Zagier. Heegner points and derivatives of L-series. „Inventiones Mathematicae”. 84 (2), s. 225–320, 1986. DOI: 10.1007/BF01388809. ISSN 0020-9910. (ang.).
- Benedict H. Gross, W. Kohnen, D. Zagier. Heegner points and derivatives of L-series. II. „Mathematische Annalen”. 278 (1–4), s. 497–562, 1987. DOI: 10.1007/BF01458081. ISSN 0025-5831. (ang.).
- Kurt Heegner. Diophantische Analysis und Modulfunktionen. „Mathematische Zeitschrift”. 56 (3), s. 227–253, 1952. DOI: 10.1007/BF01174749. (niem.).
- Mark Watkins, Some remarks on Heegner point computations, „arXiv:Number Theory (math.NT)”, 2006, arXiv:math.NT/0506325 (ang.).