q-pochodna

$q$-pochodna – $q$-analog zwykłej pochodnej.

Definicja

$q$-pochodną funkcji $f(x)$ definiuje się wzorem

$\left({\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.$

Często zapisuje się ją również jako $\operatorname {D} _{q}f(x).$ Inną nazwą $q$-pochodnej jest pochodna Jacksona.

Związek ze zwykłymi pochodnymi

$q$-różniczkowanie przypomina zwykłe różniczkowanie z ciekawymi różnicami; przykładowo $q$-pochodną jednomianu jest

$\left({\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} z}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1},$

gdzie $[n]_{q}$ jest $q$-nawiasem $n.$ Ponieważ $\lim _{q\to 1}[n]_{q}=n,$ to zbiegając w tej granicy z powyższym wyrażeniem uzyskuje się zwykłą pochodną.

$n$-ta pochodna funkcji może być dana jako

$(\operatorname {D} _{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]_{q}!$

przy założeniu, że w punkcie $x=0$ istnieje $n$-ta pochodna funkcji $f.$ W powyższym wzorze $(q;q)_{n}$ oznacza symbol $q$-Pochhammera, a $[n]_{q}!$ to $q$-silnia.

Zobacz też

• całka Jacksona
• funkcja q-wykładnicza

Bibliografia

• Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum Calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8
• J. Koekoek, R. Koekoek, A note on the q-derivative operator (Uwaga na temat operatora q-pochodnej), (1999) ArXiv math/9908140