Równanie Grossa-Pitajewskiego

Równanie Grossa-Pitajewskiego – nieliniowe równanie modelowe na funkcję falową kondensatu Bosego-Einsteina. Ma formę podobną do równania Ginzburga-Landaua.

Kondensat Bosego-Einsteina (BEC) jest jednakowych gazem bozonów, które okupują jeden stan kwantowy, który w przybliżeniu może być przedstawiony w postaci iloczynu funkcji falowych poszczególnych cząstek, które są takie same. Każda z cząstek jest opisywana przez jednocząstkowe równanie Schrödingera. Oddziaływania między cząstkami w gazie rzeczywistym są opisywane przez ogólne wielocząstkowe równanie Schrödingera. Jeśli jednak gaz jest rzadki, można założyć, że cząstki oddziałują ze sobą, tylko gdy są w tym samym miejscu, co wraz z formalizmem drugiej kwantyzacji prowadzi do równania Grossa-Pitajewskiego.

Forma równania

Równanie ma postać równania Schrödingera z dodanym nieliniowym członem oddziaływania. Stała sprzężenia, g, jest proporcjonalna do długości rozpraszania dwóch oddziałujących bozonów:

$g={\frac {4\pi \hbar ^{2}a_{s}}{m}},$

gdzie $\hbar$ jest stałą Plancka, a $m$ jest masą każdego z bozonów. Hamiltonian ma postać:

${\mathcal {H}}=\int \psi ^{+}({\vec {r}}){\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ({\vec {r}})+\psi ^{+}({\vec {r}})V(\mathbf {r} )\psi ({\vec {r}})+{\frac {1}{2}}g\psi ^{+}({\vec {r}})\psi ^{+}({\vec {r}})\psi ({\vec {r}})\psi ({\vec {r}})d^{3}r,$

gdzie $\psi ^{+}({\vec {r}})$ są operatorami kreacji

Stosując przybliżenie, że każda cząstka okupuje stan $\Psi (\mathbf {r} )$ otrzymujemy gęstość energii:

${\mathcal {E}}=N{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\vert \nabla \Psi (\mathbf {r} )\vert ^{2}+N(N-1)V(\mathbf {r} )\vert \Psi (\mathbf {r} )\vert ^{2}+{\frac {N}{2}}g\vert \Psi (\mathbf {r} )\vert ^{4},$

Dokonując wariacji ze względu na $\Psi (\mathbf {r} )^{*}$ i dodając mnożnik Lagrange’a – potencjał chemiczny utrzymujemy równanie Grossa-Pitajewskigo:

$\mu \Psi (\mathbf {r} )=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )+g\vert \Psi (\mathbf {r} )\vert ^{2}\right)\Psi (\mathbf {r} )$

wraz z warunkiem na potencjał chemiczny:

$N=\int \vert \Psi (\mathbf {r} )\vert ^{2}d^{3}r.$

Istnieje też równanie Grossa-Pitajewskiego zależne od czasu:

$i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} )}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )+g\vert \Psi (\mathbf {r} )\vert ^{2}\right)\Psi (\mathbf {r} ).$

Równanie to pozwala określić ewolucję kondensatu.

Rozwiązania

Rozwiązanie równania Grossa Pitajewskiego ze względu na jego nieliniowość jest trudnym problemem. W praktyce wykonuje się obliczenia numeryczne lub wykorzystuje rozmaite przybliżenia, rachunek zaburzeń. Występują szczególne rozwiązania:

• solitonowe („jasne” i „ciemne” solitony”)
• Thomasa-Fermiego (zaniedbany człon kinetyczny)

Bibliografia

• K. Sacha, Kondensat Bosego-Einsteina, Kraków 2004
• C.J. Pethick and H. Smith, Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases (Cambridge University Press, Cambridge, 2002). ISBN 0-521-66580-9.
• L. P. Pitaevskii and S. Stringari, Bose–Einstein Condensation (Clarendon Press, Oxford, 2003). ISBN 0-19-850719-4.