Równanie Keplera

Równanie Keplera – równanie przestępne wiążące anomalię średnią z anomalią mimośrodową na eliptycznej orbicie keplerowskiej:

$E-e\sin E=n(t-t_{\mathrm {p} })=M,$

gdzie:

$M$ – anomalia średnia,

$E$ – anomalia mimośrodowa,

$e$ – mimośród orbity,

$t_{\mathrm {p} }$ – moment przejścia ciała przez perycentrum orbity,

$t$ – moment czasu na który liczymy anomalię,

$n$ – ruch średni ${\frac {2\pi }{T}},$ gdzie $T$ jest okresem orbitalnym, który można też wyrazić jako

$n={\sqrt {\frac {G(M+m)}{a^{3}}}},$

gdzie:

$G$ – stała grawitacji,

$M$ – masa ciała centralnego,

$m$ – masa ciała którego ruch opisujemy,

$a$ – długość półosi wielkiej eliptycznej orbity.

Rozwiązanie równania Keplera jest jednym z kroków niezbędnych do powiązania położenia ciała na orbicie z czasem.

Równanie to jest nierozwiązywalne analitycznie. Można je rozwiązać metodami numerycznymi (np. metodą Newtona lub metodą siecznych), poszukując pierwiastka funkcji:

$f(E)=E-e\sin E-M.$

Wyznaczona z równania Keplera anomalia mimośrodowa wiąże się z anomalią prawdziwą poprzez zależność:

$\operatorname {tg} {\frac {E}{2}}={\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {\nu }{2}},$

gdzie:

$\nu$ – anomalia prawdziwa.

Odpowiednikiem równania Keplera dla orbity hiperbolicznej jest hiperboliczne równanie Keplera:

$M=e\sinh H-H,$

gdzie:

$H$ – hiperboliczna anomalia mimośrodowa,

natomiast w przypadku orbity parabolicznej zależność pomiędzy anomalią prawdziwą a czasem opisuje równanie Barkera:

${\frac {1}{3}}\operatorname {tg} ^{3}{\frac {\nu }{2}}+\operatorname {tg} {\frac {\nu }{2}}=2n(t-t_{p}).$