Równanie Pella

Równanie Pella – równanie diofantyczne postaci

Przykład równania Pella dla D=2

$x^{2}-Dy^{2}=1$

gdzie $D$ jest liczbą całkowitą dodatnią. Równanie to dla $D$ będącego kwadratem liczby całkowitej posiada jedynie rozwiązania $(1,0)$ oraz $(-1,0),$ zaś dla $D$ niebędącego kwadratem liczby całkowitej posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

Dla $D=n^{2},$ gdzie $n\in \mathbb {Z}$ otrzymujemy równanie $x^{2}-n^{2}y^{2}=1,$ czyli $(x-ny)(x+ny)=1,$ co jak łatwo zauważyć faktycznie w liczbach całkowitych posiada jedynie rozwiązania $(1,0)$ oraz $(-1,0).$

Dla $D$ niebędącego kwadratem liczby całkowitej istnieje algorytm konstruujący nieskończenie wiele rozwiązań.

Znajdowanie rozwiązań

Niech ${\frac {l_{n}}{m_{n}}}$ będzie ciągiem ułamków łańcuchowych dla liczby ${\sqrt {D}}.$ Sprawdzamy pary liczb $(l_{n},m_{n})$ aż któraś z nich będzie spełniać równanie Pella, taki moment nastąpi o ile $D$ nie jest kwadratem liczby całkowitej. Z tej pary liczb (oznaczmy ją jako $(x_{1},y_{1})$) można wygenerować nieskończenie wiele innych (istotne jest to, że w tej parze $y_{1}\neq 0,$ w przeciwnym razie jako parę początkową można by brać parę $(1,0)$).

Zauważmy, że skoro $x_{1}^{2}-Dy_{1}^{2}=1,$ to $(x_{1}-y_{1}{\sqrt {D}})(x_{1}+y_{1}{\sqrt {D}})=1.$ Oznaczmy przez $x_{n}$ i $y_{n}$ liczby spełniające równanie $(x_{1}+y_{1}{\sqrt {D}})^{n}=x_{n}+y_{n}{\sqrt {D}}.$ Wówczas spełnione będzie równanie $(x_{1}-y_{1}{\sqrt {D}})^{n}=x_{n}-y_{n}{\sqrt {D}},$ gdyż współczynnik całkowity wyrażenia po lewej stronie pozostanie taki sam jak był, a współczynnik przy ${\sqrt {D}}$ jedynie zmieni znak. Zatem

$x_{n}^{2}-Dy_{n}^{2}=(x_{n}+y_{n}{\sqrt {D}})\cdot (x_{n}-y_{n}{\sqrt {D}})=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {D}})^{n}\cdot (x_{1}-y_{1}{\sqrt {D}})^{n}=(x_{1}^{2}-Dy_{1}^{2})^{n}=1^{n}=1.$

Z pewnością pary $(x_{n},y_{n})$ są parami różne (gdyż $x_{1}+y_{1}{\sqrt {D}}\neq 1$), a zatem istotnie dostajemy nieskończenie wiele różnych rozwiązań równania Pella.

Przykład

Znajdźmy kilka rozwiązań równania Pella dla $D=3.$ Generowane ułamki łańcuchowe to ${\tfrac {1}{1}},{\tfrac {2}{1}},{\tfrac {5}{3}},\dots$ Już para $(x,y)=(2,1)$ spełnia równanie $x^{2}-3y^{2}=1.$ Mamy zatem $(x_{1},y_{1})=(2,1).$

Podnosimy więc do kolejnych potęg wyrażenie $(2+{\sqrt {3}}).$ Mamy zatem:

• $(2+{\sqrt {3}})^{2}=7+4{\sqrt {3}},(x_{2},y_{2})=(7,4),$ faktycznie $7^{2}-3\cdot 4^{2}=49-3\cdot 16=1$
• $(2+{\sqrt {3}})^{3}=26+15{\sqrt {3}},(x_{3},y_{3})=(26,15),$ faktycznie $26^{2}-3\cdot 15^{2}=676-3\cdot 225=1$

Bibliografia

• Równanie Pella

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pell Equation, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Pell equation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].