Równanie charakterystyczne

Równanie charakterystyczne – termin używany w analizie matematycznej i w teorii sterowania.

Niech dane jest równanie różniczkowe liniowe rzędu $n$-tego:

$a_{n}x^{(n)}+a_{(n-1)}x^{(n-1)}+\ldots +a_{1}x^{(1)}+a_{0}x=0,$

w którym $x^{(n)}$ oznacza $n$-tą pochodną funkcji $x(t)$ po zmiennej $t.$ Jeśli poszukuje się rozwiązania tego równania w postaci $e^{rt},$ to podstawiając to rozwiązanie do powyższego równania, otrzymuje się równanie ze współczynnikiem $r{:}$

$a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\ldots +a_{1}r+a_{0}=0,$

które nazywane jest równaniem charakterystycznym równania różniczkowego. Natomiast wielomian

$W(r)=a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\ldots +a_{1}r+a_{0}$

nazywa się wielomianem charakterystycznym równania różniczkowego. Rozwiązując równanie charakterystyczne otrzymuje się możliwe, różne rozwiązania szczególne dla odpowiedniego równania różniczkowego.

Podobnie w teorii sterowania, gdzie rozważania prowadzi się na płaszczyźnie S, równaniem charakterystycznym nazywa się równanie algebraiczne powstające z przyrównania mianownika transmitancji operatorowej do zera. Jeśli transmitancję układu określimy wzorem:

$G(s)={\frac {b_{n}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}},$

to równanie charakterystyczneukładu, określonego tą transmitancją, będzie miało postać:

$s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}=0.$