Równanie trygonometryczne – równanie , w którym niewiadoma występuje w wyrażeniu będącym argumentem funkcji trygonometrycznej [1] .
Elementarnym równaniem trygonometrycznym nazywamy równanie, w którym po lewej stronie znaku równości występuje pojedyncza funkcja trygonometryczna, a po prawej stronie wyraz wolny.
Elementarne równania trygonometryczne to:
sin
x
=
a
,
{\displaystyle \sin \ x=a,}
cos
x
=
a
,
{\displaystyle \cos \ x=a,}
tg
x
=
a
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \ x=a,}
ctg
x
=
a
,
{\displaystyle \operatorname {ctg} \ x=a,}
gdzie:
a
{\displaystyle a}
– ustalona liczba rzeczywista .
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych
edytuj
Rozwiązania elementarnych równań trygonometrycznych:
1.
sin
x
=
a
{\displaystyle \sin \ x=a}
dla
|
a
|
>
1
{\displaystyle |a|>1}
równanie nie ma rozwiązań,
dla
|
a
|
⩽
1
,
{\displaystyle |a|\leqslant 1,}
x
=
x
0
+
2
k
π
∨
x
=
π
−
x
0
+
2
k
π
,
{\displaystyle x=x_{0}+2k{\pi }\vee x={\pi }-x_{0}+2k{\pi },}
gdzie:
x
0
{\displaystyle x_{0}}
– rozwiązanie należące do przedziału
[
−
π
2
;
π
2
]
,
{\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}}\right],}
k
∈
C
.
{\displaystyle k\in C.}
2.
cos
x
=
a
{\displaystyle \cos \ x=a}
dla
|
a
|
>
1
{\displaystyle |a|>1}
równanie nie ma rozwiązań,
dla
|
a
|
⩽
1
,
{\displaystyle |a|\leqslant 1,}
x
=
x
0
+
2
k
π
∨
x
=
−
x
0
+
2
k
π
,
{\displaystyle x=x_{0}+2k{\pi }\vee x=-x_{0}+2k{\pi },}
gdzie:
x
0
{\displaystyle x_{0}}
– rozwiązanie należące do przedziału
[
0
;
π
]
,
{\displaystyle [0;{\pi }],}
k
∈
C
.
{\displaystyle k\in C.}
3.
tg
x
=
a
{\displaystyle \operatorname {tg} \ x=a}
dla
a
∈
R
{\displaystyle a\in R}
x
=
x
0
+
k
π
,
{\displaystyle x=x_{0}+k{\pi },}
gdzie:
x
0
{\displaystyle x_{0}}
– rozwiązanie należące do przedziału
(
−
π
2
;
π
2
)
,
{\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}}\right),}
k
∈
C
.
{\displaystyle k\in C.}
4.
ctg
x
=
a
{\displaystyle \operatorname {ctg} \ x=a}
dla
a
∈
R
{\displaystyle a\in R}
x
=
x
0
+
k
π
,
{\displaystyle x=x_{0}+k{\pi },}
gdzie:
x
0
{\displaystyle x_{0}}
– rozwiązanie należące do przedziału
(
0
;
π
)
,
{\displaystyle (0;{\pi }),}
k
∈
C
.
{\displaystyle k\in C.}
W przypadku bardziej złożonego równania trygonometrycznego należy ujednolicić wszystkie funkcje trygonometryczne i ich argumenty, a następnie sprowadzić równanie do postaci elementarnej.
Bibliografia
edytuj
Encyklopedia matematyka , A. Nawrot (red.), Sabak, Kraków 2009.