Równość (matematyka)

Równość – relacja, która jest relacją równoważności. Jest to zatem relacja zwrotna, przechodnia i symetryczna. Ważną cechą relacji równości $a=b$ jest to, że dla dowolnej funkcji $f$ zachodzi:

$a=b\implies f(\dots ,a,\dots )=f(\dots ,b,\dots )$

Aksjomatyzacja pojęcia równości generuje bardzo dużo aksjomatów – potrzebne są trzy aksjomaty: zwrotności, przechodniości i symetrii, oraz przede wszystkim aksjomat dla każdej pozycji każdej relacji i funkcji w algebrze. Na przykład jeśli system zawiera $f(a,b)$ i $g(a,b,c),$ to dodanie do niego równości wymaga dodania następujących aksjomatów:

$a=a$

$a=b\implies b=a$

$a=b\land b=c\implies a=c$

$a=b\implies f(a,x)=f(b,x)$

$a=b\implies f(x,a)=f(x,b)$

$a=b\implies g(a,x,y)=g(b,x,y)$

$a=b\implies g(x,a,y)=g(x,b,y)$

$a=b\implies g(x,y,a)=g(x,y,b).$

Nie jest to efektywne. Dlatego też, mimo że można traktować równość jak normalną relację, zwykle traktuje się ją specjalnie. Przykładowo, systemy automatycznego dowodzenia twierdzeń z równością używają paramodulacji obok (lub zamiast) zwykłej rezolucji.

Zobacz też

• znak równości