Równoległościan wielowymiarowy – uogólnienie pojęcia równoległoboku i równoległościanu na przestrzenie liniowe bądź afiniczne (w tym unitarne i euklidesowe ) dowolnego wymiaru; można go zdefiniować jako bijektywny obraz liniowy bądź afiniczny kostki wielowymiarowej .
Niech
k
⩽
n
.
{\displaystyle k\leqslant n.}
x
1
,
…
,
x
k
{\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k}}
liniowo niezależnymi wektorami
n
{\displaystyle n}
V
,
{\displaystyle V,}
k
{\displaystyle k}
równoległościanem opartym na tych wektorach nazywa się zbiór
R
(
x
1
,
…
,
x
k
)
=
{
∑
i
=
1
k
t
i
x
i
:
0
⩽
t
i
⩽
1
}
.
{\displaystyle \mathrm {R} (\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k})=\left\{\sum _{i=1}^{k}t_{i}\mathbf {x} _{i}\colon 0\leqslant t_{i}\leqslant 1\right\}.}
Powyższą definicję można przenieść wprost na przestrzenie afiniczne: jeśli
(
A
,
V
)
{\displaystyle (A,V)}
n
{\displaystyle n}
A
=
V
{\displaystyle A=V}
k
⩽
n
{\displaystyle k\leqslant n}
x
1
,
…
,
x
k
{\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k}}
V
,
{\displaystyle V,}
k
{\displaystyle k}
równoległościanem opartym na wymienionych wektorach i zaczepionym w pewnym punkcie
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
zbiór
R
(
a
;
x
1
,
…
,
x
k
)
=
{
a
+
∑
i
=
1
k
t
i
x
i
:
0
⩽
t
i
⩽
1
}
=
a
+
R
(
x
1
,
…
,
x
k
)
.
{\displaystyle \mathrm {R} (\mathrm {a} ;\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k})=\left\{a+\sum _{i=1}^{k}t_{i}\mathbf {x} _{i}\colon 0\leqslant t_{i}\leqslant 1\right\}=\mathrm {a} +\mathrm {R} (\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k}).}
Jeśli
V
{\displaystyle V}
unitarna (zdefiniowano na niej iloczyn skalarny ), to można określić
m
{\displaystyle m}
objętość równoległościanu
R
(
x
1
,
…
,
x
k
)
{\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k})}
|
R
(
x
1
,
…
,
x
k
)
|
m
=
{
0
,
dla
m
>
k
,
G
(
x
1
,
…
,
x
k
)
,
dla
m
=
k
,
∞
,
dla
m
<
k
,
{\displaystyle {\big |}\mathrm {R} (\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k}){\big |}_{m}={\begin{cases}0,&{\text{ dla }}m>k,\\{\sqrt {G(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k})}},&{\text{ dla }}m=k,\\\infty ,&{\text{ dla }}m<k,\end{cases}}}
gdzie
G
(
x
1
,
…
,
x
k
)
{\displaystyle G(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k})}
wyznacznik Grama wektorów
x
1
,
…
,
x
k
.
{\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k}.}
przestrzeniach euklidesowych (przestrzeniach afinicznych z iloczynem skalarnym).
Tak wprowadzona objętość ma własności miary dla równoległościanów i tak jak objętość prostopadłościanów wielowymiarowych jest zgodna z miarą Jordana , czy miarą Lebesgue’a tych figur (w istocie obu można użyć do ich zdefiniowania – zob. objętość przedziału wielowymiarowego
Objętość
m
{\displaystyle m}
m
{\displaystyle m}
V
{\displaystyle V}
x
1
,
x
2
,
…
,
x
m
,
{\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\dots ,\mathbf {x} _{m},}
x
i
{\displaystyle \mathbf {x} _{i}}
(
a
i
1
,
a
i
2
,
…
,
a
i
m
)
,
{\displaystyle (\mathbf {a} _{i1},\mathbf {a} _{i2},\dots ,\mathbf {a} _{im}),}
V
=
det
[
a
11
a
12
…
a
1
m
a
21
a
22
…
a
2
m
a
31
a
32
…
a
3
m
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
…
a
m
m
]
.
{\displaystyle \mathbf {V} =\det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2m}\\a_{31}&a_{32}&\dots &a_{3m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mm}\end{bmatrix}}.}
Wyznacznik ten można traktować jako zorientowaną objętość
