Równoważność (teoria miary)

Równoważność – pojęcie oddające ideę „bycia takimi samymi” dwóch miar.

Definicja formalna

Niech $(X,{\mathfrak {M}})$ będzie przestrzenią mierzalną, zaś $\mu ,\nu \colon {\mathfrak {M}}\to \mathbb {R}$ będą dwiema miarami ze znakiem. Miara $\mu$ jest równoważna mierze $\nu$ wtedy i tylko wtedy, gdy jedna jest bezwzględnie ciągła względem drugiej; symbolicznie:

$\mu \sim \nu \iff \mu \ll \nu \ll \mu .$

Równoważność miar jest relacją równoważności na zbiorze wszystkich miar ${\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} .$

Przykłady

Na prostej rzeczywistej miara Gaussa i miara Lebesgue'a są równoważne, lecz nie są one równoważne z miarą Diraca.

Bibliografia

• Paul R. Halmos: Measure Theory. Springer, 1974, s. 126. ISBN 0-387-90088-8.