Rachunek różnicowy

Rachunek różnicowy – dział matematyki badający funkcje za pomocą wyrażeń zwanych różnicami skończonymi. Jest blisko związany z rachunkiem różniczkowym i pozwala na analogiczne metody w matematyce dyskretnej. Zajmuje się między innymi równaniami różnicowymi i jest podstawą wielu metod numerycznych.

W przypadku funkcji zmiennej rzeczywistej $F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ pochodną definiuje się jako $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}.$ W matematyce dyskretnej jednak operujemy na funkcjach $F\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} .$ Dla takich funkcji czymś zupełnie analogicznym jest operator różnicowy – $\Delta$ z tym, że w przypadku funkcji $F\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R}$ do wartości $f(a)$ możemy się zbliżyć najbliżej tylko jako $f(a+1).$ Dlatego $\Delta f(x)=f(x+1)-f(x).$

Niektóre analogie między rachunkiem różnicowym a rachunkiem różniczkowym

W rachunku różnicowym odpowiednikiem funkcji potęgowej o wykładniku całkowitym jest tzw. potęga krocząca ubywająca $x^{\underline {m}}$ lub przyrastająca $x^{\overline {m}}.$ Działanie operatora $\Delta$ na funkcję $x^{\underline {m}}$ daje w wyniku:

$\Delta (x^{\underline {m}})=(x+1)^{\underline {m}}-x^{\underline {m}}=mx^{\underline {m-1}}.$

Jest to wzór analogiczny do $D(x^{m})=mx^{m-1}.$

Operator $\Delta ,$ podobnie jak operator $D$ jest przekształceniem liniowym:

$\Delta (f+g)=\Delta (f)+\Delta (g),$

$\Delta (cf)=c\Delta (f).$

Istnieje operacja odwrotna do różnicowania – jest to sumowanie, dyskretna analogia całki. Występuje ona również w wersji nieoznaczonej i oznaczonej. W szczególności

$\sum x^{\underline {m}}\delta x={\begin{cases}{\frac {x^{\underline {m+1}}}{m+1}}\quad m\neq -1\\H_{x}\quad m=-1\end{cases}},$

co przypomina wzór na całkę $\int x^{m}dx.$

Przekształcenie Abela jest dyskretnym odpowiednikiem całkowania przez części.

Bibliografia

• Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 83-01-14764-4.brak strony w książce

Linki zewnętrzne

• Finite-difference calculus (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].