Rozkład Erlanga

Rozkład Erlanga – ciągły rozkład prawdopodobieństwa, związany z rozkładem wykładniczym i rozkładem gamma. Rozkład Erlanga został opracowany przez A.K. Erlanga do szacowania liczby rozmów telefonicznych, łączonych jednocześnie przez operatora w ręcznej centrali telefonicznej. Później uwzględniono również czas oczekiwania w kolejce. Obecnie rozkład ten znalazł też zastosowanie w teorii procesów stochastycznych.

Rozkład Erlanga

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	$k>0$ parametr kształtu (liczba całkowita) $\lambda >0$ częstość (liczba rzeczywista) alt.: $\theta =1/\lambda >0$ parametr skali (liczba rzeczywista)
Nośnik	$x\in [0;\infty )$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\frac {\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!\,}}$
Dystrybuanta	${\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}=1-\sum _{n=0}^{k-1}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}/n!$
Wartość oczekiwana (średnia)	$k/\lambda$
Mediana	Nie da się zapisać w prostej postaci
Moda	$(k-1)/\lambda$ dla $k\geqslant 1$
Wariancja	$k/\lambda ^{2}$
Współczynnik skośności	${\frac {2}{\sqrt {k}}}$
Kurtoza	${\frac {6}{k}}$
Entropia	$k/\lambda +(k-1)\ln(\lambda )+\ln((k-1)!)$ $+(1-k)\psi (k)$
Funkcja tworząca momenty	$(1-t/\lambda )^{-k}$ dla $t<\lambda$
Funkcja charakterystyczna	$(1-it/\lambda )^{-k}$
Odkrywca	Agner Krarup Erlang

Związek z rozkładem wykładniczym jest następujący. Dla ciągu niezależnych zmiennych losowych $(X_{i})_{i\leqslant n},$ z których każda ma rozkład wykładniczy z jednakowym parametrem $\lambda ,$ zmienna losowa $\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ ma rozkład Erlanga z parametrami $k=n,\ \theta =1/{\lambda }.$ Wynika to bezpośrednio z postaci funkcji charakterystycznej rozkładu wykładniczego.