Rozkład wykładniczy

Rozkład wykładniczy – rozkład zmiennej losowej opisujący sytuację, w której oczekujemy na zjawisko całkowicie losowe, mogące zajść w dowolnej chwili $t\geqslant 0,$ przy czym rozkład prawdopodobieństwa nie zmienia się, jeśli wiemy, że zjawisko nie zaszło w przedziale czasu $[0,s].$ Ściślej, jeśli oznaczymy tę zmienną przez $X,$ możemy tę własność braku pamięci zapisać jako

Rozkład wykładniczy

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	$\lambda >0$ odwrotność parametru skali (liczba rzeczywista)
Nośnik	$[0,\infty )$
Gęstość prawdopodobieństwa	$\lambda e^{-\lambda x}\cdot \mathbf {1} _{[0,\infty )}$
Dystrybuanta	$1-e^{-\lambda x}$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\frac {1}{\lambda }}$
Mediana	${\frac {\ln(2)}{\lambda }}$
Moda	$0$
Wariancja	${\frac {1}{\lambda ^{2}}}$
Współczynnik skośności	$2$
Kurtoza	$6$
Entropia	$1-\ln(\lambda )$
Funkcja tworząca momenty	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}$
Funkcja charakterystyczna	$\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}$

$\mathbb {P} \left(X>s+t|X>s\right)=\mathbb {P} \left(X>t\right).$

Okazuje się, że wówczas, jeśli $X$ ma rozkład ciągły określony na przedziale $[0,\infty ),$ to jego gęstość musi być równa $\lambda e^{-\lambda x},$ dla pewnego $\lambda >0$.

Rozkład wykładniczy jest specjalnym przypadkiem rozkładu gamma, tzn. gdy $X$ ma rozkład $\mathrm {Gamma} (1,\lambda ),$ to $X$ ma rozkład $\mathrm {Exp} (\lambda ).$ Co więcej, jeśli zmienne $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ są niezależne i mają rozkład $\mathrm {Exp} (\lambda ),$ to zmienna $X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}$ ma rozkład $\mathrm {Gamma} (n,\lambda )$.

Innymi słowy, jeżeli w jednostce czasu zachodzi średnio $\lambda$ niezależnych zdarzeń, to rozkład wykładniczy opisuje odstępy czasu pomiędzy kolejnymi zdarzeniami, co służy konstrukcji procesu Poissona.

Zobacz też

• zmienna losowa
• prawo rozpadu naturalnego
• rozkład gamma

Bibliografia

• AdamA. Osękowski AdamA., Wykład z rachunku prawdopodobieństwa I, Uniwersytet Warszawski .
• WojciechW. Niemiro WojciechW., Symulacje stochastyczne i metody Monte Carlo, Uniwersytet Warszawski .