Rozszerzenie normalne

Rozszerzenie normalne – w teorii ciał rozszerzenie ciała o zbiór pierwiastków pewnej rodziny wielomianów.

Definicja

Jerzy Browkin wyprowadza pojęcie rozszerzenia normalnego ciała w następujący sposób. Niech dane będzie pewne wyjściowe ciało oznaczane $K.$ Można dla niego skonstruować pierścień wielomianów, oznaczany z kolei $K[x].$ Następnie z tegoż pierścienia wybrać można dowolny podzbiór wielomianów, dla której to rodziny wielomianów z kolei matematyk wprowadza oznaczenie $F.$ W końcu zbiór wszystkich pierwiastków wielomianów rodziny $F$ autor oznacza przez $A$ Dowolny element $a$ wzięty z $A$ jest więc pierwiastkiem pewnego wielomianu należącego do $K[x]$. Jako pierwiastek takiego wielomianu stanowi element algebraiczny nad ciałem $K$. Tak więc zbiór $A$ zawiera te elementy domknięcia algebraicznego $a(K),$ dla których istnieje należący do $F$ wielomian $f,$ który znika dla tych elementów, co zapisuje się jako $A=\{a\in a(K):\exists f\in Ff(a)=0\}$.

Ciało rozkładu wielomianów należących do $F$ nazywa się wtedy rozszerzeniem normalnym ciała $K.$ Inaczej mówiąc, ciało $L$ stanowi rozszerzenie normalne ciała $K$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\exists FF\subset K[x]:L=K(A),$ zachowując definicję A z paragrafu powyżej.

Własności

Rozszerzenie normalne rozszerzeniem algebraicznym

Jako że rozszerzenie algebraiczne oznacza rozszerzenie danego ciała $K$ o elementy doń algebraiczne, czyli będące pierwiastkami pewnego niezerowego wielomianu $f\in K[x]$, rozszerzenie normalne $L$ ciała $K$ – o pewne pierwiastki wybranych wielomianów – z definicji musi być algebraiczne.

Rozszerzenie normalne i skończone ciałem rozkładu i odwrotnie

Wybrawszy dowolny niezerowy wielomian $f\in K[x],$ rozważać można ciało rozkładu tego wielomianu. Otrzymane w ten sposób rozszerzenie ciała $K$ będzie skończone i normalne. Co więcej, własności te wiąże nie tylko implikacja, ale i równoważność. Mianowicie każde rozszerzenie $L$ ciała $K,$ jeśli jest zarazem skończone, jak i normalne, musi być ciałem rozkładu pewnego wielomianu $f\in K[x]$.

Własności tej dowodzi się następująco. Dla wybranego ciała $L$ bierze się pewną rodzinę wielomianów $F\subset K[x]$ w ten sposób, iżby stanowiło $L$ złożenie ciał rozkładu wielomianów należących do $F.$ Można to zrobić, jako że $L$ jest rozszerzeniem normalnym ciała $K,$ wtedy po prostu $L=K(A),$ pamiętając, że przez $A$ oznaczono zbiór pierwiastków wielomianów z $F$.

Następnie korzysta się z faktu, że $L$ jest rozszeniem skończonym ciała $K.$ Skoro tak, to istnieje skończony zbiór $\{a_{1},\dots ,a_{r}\}$ taki, że po rozszerzeniu $K$ o jego elementy otrzymuje się $L.$ Ponieważ $L$ jest rozszerzeniem o elementy zbioru $A,$ rozpatrywany zbiór musi zawierać się w $A\colon \{a_{1},\dots ,a_{r}\}\subset A.$ Nie trzeba tutaj brać koniecznie całego zbioru $A,$ wystarczy jego maksymalny liniowo niezależny podzbiór.

Dla każdego elementu zbioru $\{a_{1},\dots ,a_{r}\}$ bierze się następnie taki wielomian $f_{i}\in F,$ który po podstawieniu doń $a_{i}$ przyjmuje wartość $0$ (musi on istnieć, bo $L$ jest rozszerzeniem o pierwiastki wielomianów z $F$). Wielomiany te można ze sobą pomnożyć, otrzymując wielomian $f=\prod _{i=1}^{r}f_{i}.$ Oczywiście tak zdefiniowany wielomian $f\in K[x].$ Ciało $M$ rozkładu tegoż wielomianu $f$ stanowi złożenie ciał rozkładów wszystkich wielomianów $f_{i}$ od $1$ do $r.$ Tak więc $M\subset L.$ Co więcej, każde $a_{i}$ z rozpatrywanego wyżej zbioru należeć musi do $M,$ wobec czego i $L\subset M.$ Z obustronnego zawierania się wywodzi się, że $M=L.$ Jako że przez $M$ oznaczono ciało rozkładu pewnego wielomianu $f\in K[x],$ to samo tyczy się tożsamego z nim $L.$ QED.

Rozszerzenie normalne a zanurzenie i wielomian nierozkładalny z K[x]

Dla danego ciała $K$ posiadającego rozszerzenie algebraiczne $L$ dowodzi się, że $L$ jest rozszerzeniem normalnym ciała $K$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego $K$-zanurzenia $\varphi$ przekształcającego $L$ w domknięcie algebraiczne $a(K)$ $\varphi (L)=L.$ Każdy z tych warunków równoważny jest trzeciemu: każdy nierozkładalny wielomian $g$ z $K[x]$ o pierwiastku w ciele $L$ rozkłada się w tym ostatnim na wielomiany liniowe z $L[x]$.

Równoważności tych dowodzi się razem. Wpierw $K$-zanurzenie $\varphi$ przekształca $L$ w $L.$ Biorąc element $a\in L$ będący pierwiastkiem $f\in K[x],$ podstawia się doń $\varphi (a),$ które z własności $K$-zanurzenia równe jest $\varphi (f(a)),$ czyli $0.$ Umieszcza to $\varphi (a)$ pośród pierwiastków $f\in K[x].$ Tak więc rozpatrywane zanurzenie przekształca zbiór pierwiastków $f$ z $L$ na ten sam zbiór. Wobec tego zbiór pierwiastków wielomianów $A$ (zgodnie z powyżej przyjętymi oznaczeniami) również przekształcony zostanie w $A.$ Jako że w takim razie $L=K(A),$ to $\varphi (L)=\varphi (K(A))=K(\varphi (A))=K(A)=L.$ W ten sposób otrzymuje się drugą własność z pierwszej.

By otrzymać trzecią własność z drugiej, oznacza się przez $a\in L$ pierwiastek wielomianu nierozkładalnego $g\in K[x].$ Inny jego pierwiastek oznacza się jako $b\in a(K).$ Istnieje $K$-izomorfizm $\varphi '$ przekształcający ciało $K(a)$ w ciało $K(b),$ który z kolei rozszerzyć można do izomorfizmu $\varphi$ z $L$ w $a(K)$ (gdyż te właśnie ciała zawierają wspomniane pierwiastki). Korzystając z tego, że $\varphi (L)=L,$ jak również z tego, że $\varphi (K(a))$ nie różni się od $\varphi '(K(a)),$ równego z kolei $K(b),$ wnioskuje się, że musi się $K(b)$ zawierać w $L.$ Tak i $b\in L.$ Jako że nie nakładano żadnych dodatkowych ograniczeń na $b,$ musi to dotyczyć dowolnego pierwiastka $g.$ Skoro więc każdy pierwiastek wielomianu $g$ należy do ciała $L,$ to musi być ten wielomian rozkładalny na wielomiany liniowe z $L[x]$.

Przykłady

• Rozszerzenie $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q}$ jest normalne, bo jest ciałem rozkładu wielomianu $f(x)=(x^{2}-2)(x^{2}-3)\in \mathbb {Q} [x].$

Bibliografia

• JerzyJ. Browkin JerzyJ., Teoria ciał, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977  (pol.).