Rugownik – typ funkcji , której argumentami są pary wielomianów lub – z innej perspektywy – ich współczynniki, co czyni rugownik funkcją wielu zmiennych ; jest zdefiniowany wyznacznikiem opisanym niżej. Kluczową własnością rugownika jest to, że wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany te mają wspólny czynnik.
Rozpatrzmy dwa wielomiany w ciele liczbowym K : {\displaystyle K{:}}
F ( x ) = a 0 x n + a 1 x n − 1 + a 2 x n − 2 + … + a n , {\displaystyle F(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n},}
G ( x ) = b 0 x m + b 1 x m − 1 + b 2 x m − 2 + … + b m . {\displaystyle G(x)=b_{0}x^{m}+b_{1}x^{m-1}+b_{2}x^{m-2}+\ldots +b_{m}.} Rugownikiem tych wielomianów nazywa się wyznacznik stopnia n + m {\displaystyle n+m} postaci[a] [1] :
R ( F , G ) = | a 0 a 1 a 2 … a n 0 0 … 0 0 a 0 a 1 … a n − 1 a n 0 … 0 0 0 a 0 … a n − 2 a n − 1 a n … 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 … a 0 a 1 a 2 … a n b 0 b 1 b 2 … b m 0 0 … 0 0 b 0 b 1 … b m − 1 b m 0 … 0 0 0 b 0 … b m − 2 b m − 1 b m … 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 … b 0 b 1 b 2 … b m | . {\displaystyle \mathrm {R} (F,G)={\begin{vmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}&0&0&\dots &0\\0&a_{0}&a_{1}&\dots &a_{n-1}&a_{n}&0&\dots &0\\0&0&a_{0}&\dots &a_{n-2}&a_{n-1}&a_{n}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &a_{0}&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{0}&b_{1}&b_{2}&\dots &b_{m}&0&0&\dots &0\\0&b_{0}&b_{1}&\dots &b_{m-1}&b_{m}&0&\dots &0\\0&0&b_{0}&\dots &b_{m-2}&b_{m-1}&b_{m}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &b_{0}&b_{1}&b_{2}&\dots &b_{m}\end{vmatrix}}.} Przyjmuje się dodatkowo, że R ( 0 , G ) = R ( F , 0 ) = 0. {\displaystyle \mathrm {R} (0,G)=\mathrm {R} (F,0)=0.}
Dla dowolnych wielomianów F , G , H {\displaystyle F,G,H} zachodzi:
R ( F , G ) = ( − 1 ) deg F ⋅ deg G ⋅ R ( G , F ) , {\displaystyle \mathrm {R} (F,G)=(-1)^{\deg F\cdot \deg G}\cdot \mathrm {R} (G,F),}
R ( F ⋅ H , G ) = R ( F , G ) ⋅ R ( H , G ) , {\displaystyle \mathrm {R} (F\cdot H,G)=\mathrm {R} (F,G)\cdot \mathrm {R} (H,G),}
R ( F , G ) = 0 {\displaystyle \mathrm {R} (F,G)=0} wtedy i tylko wtedy, gdy F {\displaystyle F} i G {\displaystyle G} mają wspólny pierwiastek .Istnieją takie wielomiany v , w , {\displaystyle v,w,} że v ⋅ F + w ⋅ G = R ( F , G ) . {\displaystyle v\cdot F+w\cdot G=\mathrm {R} (F,G).} Niech F , G {\displaystyle F,G} będą postaci
F ( t ) = ( t − x 1 ) ( t − x 2 ) … ( t − x s ) , {\displaystyle F(t)=(t-x_{1})(t-x_{2})\dots (t-x_{s}),}
G ( t ) = ( t − y 1 ) ( t − y 2 ) … ( t − y r ) . {\displaystyle G(t)=(t-y_{1})(t-y_{2})\dots (t-y_{r}).} Wtedy R ( F , G ) = ∏ i = 1 s ∏ j = 1 r ( x i − y j ) {\displaystyle \mathrm {R} (F,G)=\prod _{i=1}^{s}\prod _{j=1}^{r}(x_{i}-y_{j})} [b] .
Zastosowanie
edytuj
Rozwiązywanie układów dwóch równań z dwiema niewiadomymi
edytuj
Rozpatrzmy układ równań wielomianowych f ( x , y ) = 0 , g ( x , y ) = 0 ; {\displaystyle f(x,y)=0,g(x,y)=0;} f , g {\displaystyle f,g} – niezerowe. Po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg y {\displaystyle y} uzyskujemy:
f 0 ( x ) y s + f 1 ( x ) y s − 1 + f 2 ( x ) y s − 2 + … + f s ( x ) , {\displaystyle f_{0}(x)y^{s}+f_{1}(x)y^{s-1}+f_{2}(x)y^{s-2}+\ldots +f_{s}(x),}
g 0 ( x ) y t + g 1 ( x ) y t − 1 + g 2 ( x ) y t − 2 + … + g t ( x ) , {\displaystyle g_{0}(x)y^{t}+g_{1}(x)y^{t-1}+g_{2}(x)y^{t-2}+\ldots +g_{t}(x),} gdzie f 0 , g 0 {\displaystyle f_{0},g_{0}} są wielomianami niezerowymi. Można rozważyć rugownik:
R ( x ) = | f 0 ( x ) f 1 ( x ) f 2 ( x ) … f s ( x ) 0 0 … 0 0 f 0 ( x ) f 1 ( x ) … f s − 1 ( x ) f s ( x ) 0 … 0 0 0 f 0 ( x ) … f s − 2 ( x ) f s − 1 ( x ) f s ( x ) … 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 … f 0 ( x ) f 1 ( x ) f 2 ( x ) … f s ( x ) g 0 ( x ) g 1 ( x ) g 2 ( x ) … g t ( x ) 0 0 … 0 0 g 0 ( x ) g 1 ( x ) … g t − 1 ( x ) g t ( x ) 0 … 0 0 0 g 0 ( x ) … g t − 2 ( x ) g t − 1 ( x ) g t ( x ) … 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 … g 0 ( x ) g 1 ( x ) g 2 ( x ) … g t ( x ) | . {\displaystyle \mathrm {R} (x)={\begin{vmatrix}f_{0}(x)&f_{1}(x)&f_{2}(x)&\dots &f_{s}(x)&0&0&\dots &0\\0&f_{0}(x)&f_{1}(x)&\dots &f_{s-1}(x)&f_{s}(x)&0&\dots &0\\0&0&f_{0}(x)&\dots &f_{s-2}(x)&f_{s-1}(x)&f_{s}(x)&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &f_{0}(x)&f_{1}(x)&f_{2}(x)&\dots &f_{s}(x)\\g_{0}(x)&g_{1}(x)&g_{2}(x)&\dots &g_{t}(x)&0&0&\dots &0\\0&g_{0}(x)&g_{1}(x)&\dots &g_{t-1}(x)&g_{t}(x)&0&\dots &0\\0&0&g_{0}(x)&\dots &g_{t-2}(x)&g_{t-1}(x)&g_{t}(x)&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &g_{0}(x)&g_{1}(x)&g_{2}(x)&\dots &g_{t}(x)\end{vmatrix}}.} Podobnie, po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg x , {\displaystyle x,} tworzy się rugownik S ( y ) . {\displaystyle \mathrm {S} (y).} Można udowdnić, że gdy para ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} jest rozwiązaniem układu równań f ( x , y ) = 0 , g ( x , y ) = 0 , {\displaystyle f(x,y)=0,g(x,y)=0,} zachodzi R ( a ) = 0 {\displaystyle \mathrm {R} (a)=0} oraz S ( b ) = 0. {\displaystyle \mathrm {S} (b)=0.}
Powyższe rozumowanie prowadzi do metody uzyskiwania rozwiązań układu równań. Jeśli R , S {\displaystyle R,S} są wielomianami niezerowymi, ich rozkład na czynniki pierwsze daje skończoną liczbę potencjalnych wartości a 1 , … , a k {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}} odciętej i b 1 , … , b l {\displaystyle b_{1},\dots ,b_{l}} rzędnej rozwiązania. Wówczas pozostaje bezpośrednie sprawdzenie, które z par ( a i , b j ) {\displaystyle (a_{i},b_{j})} są rozwiązaniami układu równań.
↑ Współczynnik a n , {\displaystyle a_{n},} pojawiając się w wyznaczniku po raz ostatni, nie musi znajdować się bezpośrednio nad b 0 . {\displaystyle b_{0}.} Ich wzajemne położenie zależy od wartości m , n . {\displaystyle m,n.}
↑ Wzór ten może być traktowany jako definicja rugownika.
Bibliografia
edytuj
Linki zewnętrzne
edytuj
Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Resultant , [w:] MathWorld , Wolfram Research (ang. ) . [dostęp 2023-04-26].
Resultant (ang. ) , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-04-26].