Słowo Thuego-Morse’a
Słowo Thuego-Morse’a – nieskończony ciąg binarny; słowo nad alfabetem które pojawia się w wyniku analizy różnych zagadnień, często w odległych dziedzinach. Jedna z metod jego konstrukcji polega na podaniu jego pierwszego elementu (litery) a następnie dopisywaniu w każdym kolejnym kroku do już wypisanych elementów ich negacji. Każda kolejna iteracja wydłuża dwukrotnie uzyskany ciąg.
Pierwsze 32 symbole ciągu to
Definicje edytuj
Istnieje kilka równoważnych sposobów na zdefiniowanie ciągu Thuego-Morse’a.
Definicja formalna edytuj
Jeśli skończone wyrazy ciągu są zdefiniowana jako
gdzie oznacza słowo, w którym wszystkie litery zostały zanegowane,
to jest słowem Thuego-Morse’a[1][2] .
Wzór ogólny ciągu edytuj
Jeśli kolejne litery słowa ponumerujemy od zera, to na pozycji będzie gdy liczba jedynek w zapisie binarnym liczby będzie nieparzysta i w przeciwnym razie[2] .
Przykład[3]:
Niech
Ponieważ i liczba jedynek liczby 11 w zapisie dwójkowym jest równa 3, czyli jest nieparzysta, więc
Ta metoda pozwala na utworzenie efektywnego algorytmu na obliczanie kolejnych wyrazów ciągu[4].
Wzór rekurencyjny edytuj
Kolejne litery ciągu można wyznaczać według wzoru[3]:
dla wszystkich nieujemnych
Definicja z pomocą morfizmu edytuj
Niech będzie następującym morfizmem[5]
Tworząc ciąg iterat począwszy od litery otrzymujemy[6]:
Wyrażenie jest słowem Thuego-Morse’a[1][2][6]. Natomiast nazywa się morfizmem Thuego-Morse’a[5].
Własności edytuj
Uogólnienie edytuj
Korzystając z definicji bezpośredniej bazującej na obliczaniu sumy jedynek można zdefiniować uogólnienie, w którym dla litery obliczana jest suma cyfr o postawie Tak zdefiniowany ciąg jest również binarny, a po podstawieniu daje ciąg słów Thuego-Morse’a[8].
Dalszym uogólnieniem jest zwiększenie rozmiaru alfabetu generującego słowa, zastępując operację przez [9]. Tak uzyskany ciąg tworzy słowo beznakładkowe[b] wtedy i tylko wtedy gdy [9] dla i [10].
Historia edytuj
Pierwsze badania nad ciągiem, w ramach teorii liczb przeprowadził Eugène Prouhet w 1851[11]. Jednak nie wskazał go jawnie. Zrobił to dopiero Axel Thue w 1906[11], w swoich badaniach nad słowami w dziedzinie kombinatoryki[7]. Nieskończony ciąg binarny zyskał światową uwagę dzięki pracy Marstona Morse’a z 1921 dotyczącej geometrii różniczkowej[12]. W kolejnych latach ciąg był również wielokrotnie niezależnie odkrywany w różnych odległych od siebie dziedzinach[11].
Zobacz też edytuj
Uwagi edytuj
- ↑ Słowa kwadratowe to dwukrotne sklejenie takie samej kombinacji symboli na przykład mama lub kankan[13].
- ↑ a b Definicja: Słowo jest beznakładkowe jeśli nie zawiera wzoru o postaci gdzie jest literą z alfabetu tworzącego słowa, a dowolnym układem liter (także pustym)[14]. W słowach nakładkowych można znaleźć powtórzone podsłowa jak na przykład we francuskim wyrazie entente[9].
Przypisy edytuj
- ↑ a b c Williamson 2010 ↓, s. 3.
- ↑ a b c d e f szreder 2011 ↓.
- ↑ a b Williamson 2010 ↓, s. 2.
- ↑ Arndt 2011 ↓, s. 44.
- ↑ a b Fraenkel 2015 ↓, s. 2.
- ↑ a b Fraenkel 2015 ↓, s. 3.
- ↑ a b Allouche i Shallit 1999 ↓, 3.1 The pioneering work of Thue.
- ↑ Astudillo 2003 ↓, s. 1–2.
- ↑ a b c Allouche i Shallit 2000 ↓, s. 1.
- ↑ Williamson 2010 ↓, s. 13.
- ↑ a b c Allouche i Shallit 1999 ↓, Abstract.
- ↑ Allouche i Shallit 1999 ↓, 4. Differential geometry.
- ↑ Jakub Radoszewski , Kwadraty, „Delta”, marzec 2011 [dostęp 2018-06-27] .
- ↑ Williamson 2010 ↓, s. 9.
Bibliografia edytuj
- Jean-Paul Allouche , Jeffrey Shallit , The ubiquitous Prouhet-Thue-Morse sequence [online], 1999 [dostęp 2018-06-24] (ang.).
- Jean-Paul Allouche , Jeffrey Shallit , Sums of Digits, Overlaps, and Palindromes, „Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science”, 4 (1), 2000, s. 001–010, hal-00958941 [dostęp 2018-06-24] .
- 1.16.4 The Thue-Morse sequence, [w:] Jörg Arndt , Matters Computational: Ideas, Algorithms, Source Code, Springer, 2011 (ang.).
- Ricardo Astudillo , On a class of Thue-Morse type sequences, „Journal of Integer Sequences”, 6, 2003, Article 03.4.2 (ang.).
- Aviezri S. Fraenkel , Games derived from a generalized Thue-Morse word [online], 31 grudnia 2015 [dostęp 2018-06-25] (ang.).
- szreder, Rozdział 2: Przykłady ciekawych abstrakcyjnych tekstów | Informatyka MIMUW [online], 18 stycznia 2011 [dostęp 2018-06-24] .
- Christopher Williamson , An Overview of the Thue-Morse Sequence [online], 4 czerwca 2010 [dostęp 2018-06-24] (ang.).
Linki zewnętrzne edytuj
- Eric W. Weisstein , Thue-Morse Sequence, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
- Karol Gryszka , Od Prouheta-Tarry’ego-Escotta do Thuego-Morse’a, „Delta”, październik 2016 [dostęp 2018-06-24] .
- Karol Gryszka , Sprawiedliwie, sprawiedliwiej, najsprawiedliwiej, „Delta”, listopad 2016 [dostęp 2018-06-24] .
- Karol Gryszka , Fraktale z zer i jedynek, „Delta”, marzec 2017 [dostęp 2018-06-25] .