Składowa jedynki

Składowa jedynki – dla danej grupy topologicznej $G$ składowa spójności $G_{0}$ zawierająca jedynkę grupy. Podobnie drogowa składowa jedynki grupy topologicznej $G$ jest drogowa składowa spójności grupy $G$ zawiera element neutralny grupy.

Własności

Składowa jedynki $G_{0}$ jest domkniętą podgrupą normalną grupy $G.$ Domkniętość wynika z faktu, iż składowe są zawsze domknięte. Jest ona podgrupą, ponieważ mnożenie i odwrotność są odwzorowaniami ciągłymi. Co więcej, dla każdego ciągłego automorfizmu $a$ grupy $G$ zachodzi

$a(G_{0})=G_{0},$

skąd wynika, że normalność $G_{0}$ w grupie $G.$

Składowa spójności $G_{0}$ nie musi być zbiorem otwartym w $G.$ Istotnie, może być $G_{0}=\{e\},$ kiedy to $G$ jest całkowicie niespójna. Jednakże składowa jedynki przestrzeni lokalnie drogowo spójnej (na przykład grupy Liego) jest zawsze otwarta, ponieważ zawiera drogowo spójne otoczenie zbioru $\{e\};$ jest to więc zbiór otwarto-domknięty.

Drogowa składowa jedynki może być w ogólności mniejsza niż składowa jedynki (ponieważ drogowa spójność jest warunkiem silniejszym niż spójność), jednakże pokrywają się one, gdy $G$ jest lokalnie drogowo spójna.

Grupa składowych

Grupa ilorazowa $G/G_{0}$ nazywana jest grupą składowych grupy $G.$ Jej elementami są po prostu spójne składowe $G.$ Grupa składowych $G/G_{0}$ jest ona dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy $G_{0}$ jest otwarta. Jeżeli $G$ jest afiniczną grupą algebraiczną, to $G/G_{0}$ jest w istocie grupą skończoną.

Można podobnie zdefiniować drogową składową grupy jako grupę składowych drogowych (iloraz grupy przez drogową składową jedynki); w ogólności grupa składowych jest ilorazem grupy składowych drogowych, ale jeśli $G$ jest lokalnie drogowo spójna, to grupy te pokrywają się. Grupę składowych drogowych można scharakteryzować jako zerową grupę homotopii, $\pi _{0}(G,e).$

Przykłady

• Grupa niezerowych liczb rzeczywistych z mnożeniem $(\mathbb {R} ^{*},\cdot )$ ma dwie składowe, przy czym grupą składowych jest ${\bigl (}\{1,-1\},\cdot {\bigr )}.$
• Niech dana będzie grupa elementów odwracalnych $U$ pierścienia liczb podwójnych. W zwyczajnej topologii płaszczyzny $\{z=x+jy\colon x,y\in \mathbb {R} \}$ grupa $U$ rozpada się na cztery składowe oddzielone prostymi $y=x$ oraz $y=-x,$ gdzie $z$ nie ma odwrotności. Wówczas $U_{0}=\{z\colon |y|<x\}.$ w tym przypadku grupa składowych $U$ jest izomorficzna z grupą czwórkową Kleina.

Bibliografia

• Lew Pontriagin, Topological Groups, 1966.