Stożek (analiza funkcjonalna)

Stożek – uogólnienie pojęcia stożka (nieograniczonego) znanego ze stereometrii na przestrzenie liniowo-topologiczne (najczęściej przestrzenie Banacha). Stożek w przestrzeni unormowanej jest szczególnym przypadkiem tzw. klinu. Kliny / stożki wyznaczają w pewien naturalny sposób praporządek / porządek w przestrzeni, przez co znajdują zastosowanie w teorii równań różniczkowych w przestrzeniach Banacha.

Definicja

W niniejszym artykule $X$ oznaczać będzie zawsze rzeczywistą przestrzeń liniowo-topologiczną.

Niepusty zbiór domknięty $K\subseteq X$ nazywamy klinem (w przestrzeni $X$), gdy dla każdych $x,y\in K$ oraz $\alpha \geqslant 0$

$x+y\in K$

oraz

$\alpha x\in K.$

Ponadto, klin nazywamy stożkiem, gdy spełniony jest warunek

$z\in K\wedge -z\in K\iff z=0.$

Przestrzenie liniowo-topologiczne uporządkowane przez stożki

Jeśli $K$ jest klinem w przestrzeni $X,$ to relacja $\leqslant$ dana warunkiem

$x\leqslant y\iff y-x\in K$

jest praporządkiem. Ponadto, $\leqslant$ jest porządkiem częściowym wtedy i tylko wtedy, gdy $K$ jest stożkiem. Praporządek $\leqslant$ wyznaczony przez klin $K$ ma dodatkowo następujące własności:

1. $x,y,z\in X,x\leqslant y\Rightarrow x+z\leqslant y+z,$
2. $x,y\in X,\alpha \geqslant 0\Rightarrow \alpha x\leqslant \alpha y,$
3. $x,y,x_{n},y_{n}\in X,n\in \mathbb {N} ,x_{n}\leqslant y_{n},x_{n}\to x,y_{n}\to y\Rightarrow x\leqslant y.$

Przykłady

• Zbiór $\{0\}$ jest stożkiem.
• Jeśli $K\neq \{0\}$ jest domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni $X,$ to jest ona klinem, ale nie jest stożkiem.
• Jeżeli $x^{*}$ jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na przestrzeni $X,$ to zbiór $K=\{x\in X\colon \,x^{*}x\geqslant 0\}$ jest klinem.
• Część wspólna dowolnej rodziny klinów (w danej przestrzeni) jest klinem.
• Przypomnijmy, że jeżeli $A$ jest zbiorem niepustym, to symbolem $\ell ^{\infty }(A)$ oznaczamy przestrzeń wszystkich ograniczonych odwzorowań $f\colon A\to \mathbb {R}$ z normą supremum. Zbiór $(\ell ^{\infty }(A))^{+},$ zdefiniowany niżej, jest stożkiem w tej przestrzeni:

$(\ell ^{\infty }(A))^{+}=\{f\in \ell ^{\infty }(A)\colon f(x)\geqslant 0,\,x\in A\}.$

• Jeżeli $B\subseteq X$ jest niepustym, domkniętym, ograniczonym zbiorem wypukłym takim, że $0\notin B,$ to zbiór $K=\{\alpha b\colon \alpha \geqslant 0,b\in B\}$ jest stożkiem o niepustym wnętrzu.

Bibliografia

• Jonathan M. Borwein; James V. Burke; Adrian S. Lewis: Differentiability of cone-monotone functions on separable Banach space, Proc. Amer. Math. Soc. 132 (2004), s. 1067–1076 [1].
• Karol Baron, Peter Volkmann: Characterization of the absolute value of complex linear functionals by functional equations, 10 pp., 2006-11-03.